Прямая и обратная геодезические задачи

В системе плоских прямоугольных координат формулы для геодезических задач основаны на простых геометрических соот­ношениях.

Прямая геодезическая задача.Известны длина d отрезка 1—2 (рис.24, а), его дирекционный угол α, координаты х₁ и у₁ точки 1. Требуется вычислить координаты x₂ и у₂ точки 2.

Рис.24. Прямая и обратная геодезические задачи

Сначала вычисляют приращения координат:

Δх = Х₂ – Х₁= d cos α = ± d cos r ;

Δy = Y₂ – Y₁ = d sin α= ± d sin r,

а затем координаты:

Х₂ = Х₁ + Δх = Х₁ + d cos α ;

Y₂ = Y₁ + Δy = Y₁ + d sin α .

Знаки приращений координат Δх, Δу зависит от направления отрезка 1—2 (рис. 24, б) и определяется знаками cos α и sin α или по румбу r_1-2.

Обратная геодезическая задача. По известным координатам х₁, у₁ и x₂, у₂ отрезка 1—2 (см. рис. 24, а) вычисляют его длину d, румб r_1-2 и дирекционный угол α. Вначале находят румб направления 1—2 по значению его тангенса:

tg r_1-2 = Δy/Δx = (у₂ - у₁)/ (x₂ - х₁)

Затем по знакам разностей уг — у\ и д& — Х\ определяют чет­верть и наименование румба, а также дирекционный угол α_1-2. Длину отрезка 1 — 2 вычисляют для контроля по двум из трех следующих формул (без учета знака приращений Δх и Δу):

d = (x₂ - х₁)/cos α; d = (у₂ - у₁)/ sin α; d =√Δx² +Δy².

Тахеометрический ход. Для обеспечения топогра­фических съемок с сечением рельефа более 1 м высоты точек теодо­литного хода могут определяться тригонометрическим нивелиро­ванием в прямом и обратном направлениях, при этом длина каждого хода должна быть не более 2 км.

Вертикальные углы на станции измеряют обычно одновременно с измерением горизонтальных углов. Каждый вертикальный угол определяют одним полным приемом (при двух положениях трубы: КП и КЛ). Колебание места нуля на станции не должно превышать 1ʹ. Высоту прибора i и точки наведения I измеряют с точностью до 1 см. Превышение вычисляют по полной формуле тригонометрического нивелирования:

.

Если визировать на метку, прикрепленную к рейке на высоте прибора ( ), получим сокращенную формулу тригонометрического нивелирования:

.

Расхождения между прямыми и обратными превышениями для одной и той же линии не должны быть больше м, где S — средняя длина ли­нии, выраженная в сотнях метров; — число измеренных превы­шений (линий) в ходе или полигоне

Горизонтальное проложение длины линии определяют по формуле:

.

Тригонометрическое нивелирование пунк­тов съемочного обоснования. Определение высот пунктов микротриангуляции производится в том же порядке, как и пунктов теодолитного хода.

В горных районах высоты пунктов опорных геодезических сетей (съемочного обоснования) разрешается определять тригонометри­ческим нивелированием; измерять вертикальные углы теодоли­том Т2 (или другим равноценным ему прибором) одним приемом по трем нитям. Колебание места нуля на станции не должно пре­вышать 20". Расхождение между прямыми и обратными превыше­ниями, а также невязки по высоте в ходах не должны превышать 10 см на каждый километр хода.