Теорема о повторении опытов (формула Я. Бернулли)

В теории вероятностей встречаются задачи, в которых один и тот же опыт (испытание) повторяется многократно. В подобных случаях требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Рассмотрим один из примеров. На вход приёмника поступает серия импульсов, отражённых от радиолокационной цели, амплитуды которых приблизительно одинаковы. Появление каждого импульса можно рассматривать как опыт, в результате которого импульс может либо пройти (успех) на выход приёмника (событие А), либо не пройти (неудача) из-за подавления помехами (событие ). Требуется найти вероятность того, что на выход приёмника пройдет определённое число импульсов (0, 1, …,n). Подобные задачи решаются с помощью теоремы о повторении опытов, которая утверждает следующее.

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p, а вероятность противоположного события есть q= 1-p, то вероятность Pn(k) того, что при этих опытах событие A появится ровно k раз, где k = 0, 1, 2,...,п, равна

(1.17.1)

Докажем это утверждение. Интересующее нас событие (при n независимых опытах событие А появится ровно k раз) распадается на несколько частных случаев:

событие А появилось в первых k опытах и не появилось при (n-k) последующих: . Вероятность такого варианта по теореме умножения для независимых событий равна P(A)P(A)…P(A)P()P()…P()= pk(1-p)n-k= pkqn-k.
Далее, событие А не появилось при первом опыте, появилось при k следующих и не появилось при остальных (n-k-1) опытах. Вероятность этого варианта составит величину P()P(A)P(A)…P(A)P()P()…P()= pk(1-p)n-k= pkqn-k.

Всего таких вариантов будет столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k. Так как варианты между собой несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Рn(k)= pkqn-k+pkqn-k+…+ pkqn-k=.

Таким образом, вероятность Рn(k) того, что при n повторениях опыта событие A появится ровно k раз равна

где q= 1-p, k= 0, 1,…,n.

С помощью формулы Бернулли можно решать также следующие задачи.

1. Вычислить вероятность того, что при n независимых опытах событие А появится не менее m раз, т.е. k= m, m+1,…,n:

(1.17.2)

2. Определить вероятность того, что при n опытах событие A появится не более m раз, т.е. когда k= 0, 1,…,m:

(1.17.3)

3. Найти вероятность того, что при n опытах событие А появится от m1 до m2 раз, т.е. когда k= m1,…, m2:

(1.17.4)

4. Определить вероятность того, что при n опытах событие A появится хотя бы один раз, т.е. когда k= 1, 2,…,n:

(1.17.5)

Формула Бернулли часто используется в качество математической модели реальных ситуаций: при кодировании сообщений, контроле качества продукции, определении надежности систем и т.д. Рассмотренная схема называется схемой независимых испытаний или схемой Бернулли. Она определяется заданием натурального числа n и произвольного р (0£р£1). Важность формулы Бернулли определяется тем, что она связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, т.е. с такими условиями, в которых как раз и проявляются законы теории вероятностей.

Известно несколько обобщении формулы Бернулли [2,5]. Одно из них относится к случаю, когда из-за меняющихся условий при проведении n независимых опытов вероятность р меняется от опыта к опыту. Второе обобщение имеет в виду, что каждый опыт может иметь не два, а большее число исходов.

Особо важное значение для практики имеет обобщение схемы независимых испытаний, приводящее к схеме цепей Маркова (см. §7.2).