Формула Байеса (теорема гипотез)

Формула Байеса является решением следующей задачи. Пусть событие А может произойти только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2,...Hn. Предполагается, что известны априорные вероятности гипотез Р(H1), Р(H2),...,Р(Hn) и условные вероятности перехода Р(А/Hi), i= 1,2,…,n, события А при каждой из гипотез (рис. 1.20). Допустим, что произведено испытание, в резуль­тате которого появилось событие А. Необходимо определить, с какой из гипотез следует связывать появление события А, т.е. определить, следствием какой гипотезы явилось это событие. Иначе говоря, требуется определить обратные вероятности гипотез Р(H1/A), Р(H2/A),…, Р(Hn/A) при условии, что событие A произошло. Если событие А произошло, то это, очевидно, должно вызвать переоценку вероятностей гипотез Hi, i= 1,2,…,n. Количественную оценку изменения вероятностей гипотез дает формула Байеса.

Вероятность гипотезы Р(Hi/A) равна отношению вероятности Р(HiA) совместного появления событий Hi и А к полной вероятности Р(А) события А:

(1.16.1)

Вывод формулы Байеса основан на использовании теоремы умножения вероятностей. В данном случае события Hi и А совместны и зависимы. Поэтому

P(AHi)= P(A)P(Hi/A)= P(Hi)P(A/ Hi).

Следовательно,

Поясним смысл составляющих, входящих в эту формулу.

Первая часть выражения (1) состоит из двух сомножителей: априорной вероятности P(Hi), характеризующей неопределенность гипотезы Hi до опыта и коэффициента , уточняющего априорную вероятность на основе эксперимента. Апостериорная вероятность P(Hi/А) гипотезы Hi характеризует пересмотренное значение априорной вероятности P(Hi) после получения дополнительной информации о появлении события А. Вероятность P(А/Hi) события А (наблюдения, сообщения и т.п.) в предположении, что верна гипотеза Hi иногда называют правдоподобием гипотезы Hi.

Формула Байеса (1) позволяет определить вероятности гипотез после того, как появилось событие А. Необходимость в проведении эксперимента возникает тогда, когда априорные вероятности кажутся недостаточно надежными и требуют уточнения. Из формулы видно, что при определении апостериорной (обратной) вероятности P(Hi/А) нужно учитывать как первоначальные (априорные) данные о гипотезах, характеризуемых вероятностью P(Hi), так и результаты опыта (произошло событие А, а не какое-либо другое), т.е. апостериорные (после опытные) сведения.
Формула Байеса играет фундаментальную роль в современной статистике и теории оптимального радиоприема. С её помощью можно, получив некоторое сообщение (сигнал), вычислить обратные вероятности всех сообщений, которые в действительности могли быть переданы и за истинное принять значение, обратная вероятность P(Hi/А) которого максимальна. При этом решении не исключены ошибки. Однако они будут минимальными по сравнению с другими решениями. Чтобы иметь надежные результаты для принятия решения иногда проводятся последовательные эксперименты. В таком случае апостериорные вероятности гипотез после первого эксперимента принимаются в качестве априорных вероятностей для второго эксперимента и т.д.

Методика решения задач с применением формулы Байеса такова. Во-первых, необходимо вычислить вероятности гипотез при условии, что произошло событие А, т.е. вычислить апостериорные вероятности P(Hi/А), i= 1,2,…,n. Во-вторых, сравнить полученные вероятности между собой. В-третьих, принять решение, т.е. отдать предпочтение той гипотезе, которая имеет наибольшую вероятность.