C2-распределение

Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами (0,1). Плотность распределения ее квадрата Х² равна при y>0; а при y £ 0 функция плотности равна 0. Пусть теперь каждая из n независимых случайных величин имеет нормальное распределение с параметрами (0,1). Введем случайную величину:

. (25)

Случайная величина (25) называется c²- распределением (хи- квадрат распределением) с n степенями свободы. Формула для построения композиции распределений независимых случайных величин :

(26)

Здесь – гамма-функция, значения которой определяются по таблицам для р>0. c²- распределение содержит параметр n, который часто называют числом степеней свободы этого распределения. При функция плотности убывает для х>0, а при n>2 имеет единственный максимум в точке х = n -2. Графики функций для некоторых n изображены на рис. 2.

Вычисляя, как обычно, числовые характеристики этой случайной величины, можно получить формулы для математического ожидания и дисперсии этой случайной величины: Во многих приложениях бывает важно найти вероятность Р того, что величина c² принимает значение, превышающее данную величину . Эта вероятность равна площади, ограниченной ветвью кривой плотности, расположенной справа от (рис. 3). Таким образом,

,

где - функция распределения этой случайной величины. Обычно более удобно табулировать как функцию вероятности P. Если p выражается в процентах, скажем , то называют р-процентным значением, иначе р-процентным квантилем этого распределения.

Замечание. В задачах математической статистики используется случайная величина – c-распределение с n степенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины имеет вид:

(27)

На рис. 4 представлен график плотности распределения этой случайной величины при некоторых n.