Лекция 32
Теории пластичности
Диаграмма деформирования пластичного материала.
Для расчета стальных конструкций пластичную диаграмму заменяют условной диаграммой Прандтля.
- идеально упругое пластичное тело
В зависимости от рассматриваемого материала (реального) выбирается та или иная (из условия совпадения теоретического материала данного опыта).
Для многих материалов диаграмма деформирования является не линейной.
Поэтому возникает необходимость математическое описание зависимости 
.
Существуют апробированные формы:
, 
(1) –степенная зависимость с двумя коэффициентами а и k.
Коэффициенты подбираются из наилучших соответствий теоретической кривой и опытных результатов.
(2) – кубическая парабола
(Па)- касательный модуль
Вычисляем величину секущего и касательного модулей:
Используем два условия:
1)при 
- начальный модуль материала.
В начальном участке деформирования траектория совпадает с упругой траекторией.
Для подсчета второго коэффициента используем условие:
, 
, что соответствует точке графика 
Тогда:
Па – величины констант получаются в [Па]
Тогда формула имеет вид:
Теорию пластичности можно построить лишь путем введения определенных гипотез.
Вспомним термины, относящиеся к напряженному деформированному состоянию тела:
- тензор напряжения (тензор второго ранга)
Среднее нормальное напряжение в данной точке: 
Для деформированного состояния вводим аналогичные величины:
- тензор деформации (второго ранга)
Средняя линейная деформация в данной точке тела: 
Теория малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина
Данная теорема базируется на трех законах:
1)Закон изменения объема тела.
Изменен6ие объема происходит по линейному закону в следующем виде:
k - объемный модуль данного материала.
2)Закон изменения формы:
Изменение формы определяется дивиаторами напряжения и деформации:
пропорциональная зависимость между дивиаторами.
Подобие между напряжениями и деформационными состояниями изменения формы
3)Закон о единой кривой деформирования 
:
для любого вида напряженного состояния тела (одномерного, двухмерного, трехмерного) существует единая зависимость 
, причем функция f совпадает стыковой зависимостью 
при простом испытании материала.
К простому испытанию относится испытание на растяжение, сжатие, изгиб.
Затем, после получения функции f она применяется для любых типов напряженного состояния тела.
Как правило, при использовании теоремы Ильюшина вводят дополнительные упрощающие напряжения.
Обычно предполагается 
, следовательно несжимаем материал (для стержней, пластинок, оболочек значительно легче вызвать изменение формы, чем оббьем)
Запишем:
,
,
,
- коэффициент Пуассона для несжимаемого материала.
Тогда формула следует из второго закона:
-более простые формулы
Траектория 
и 
подобны и у них совпадает главные оси.
УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
Рассмотрим балку из материал с нелинейной зависимостью
- кубическая парабола
По теореме Журавского:
Возникает задача записи выражения для изгибающего момента М(z). При этом используются формулы для:
- нормальное напряжение по продольному направлению вертикального деформирования
; 
- волокна по высоте балки не давят друг на друга.
- деформирование по толщине балки
- поперечный габарит балки остается постоянным
Для несжимаемого материала
Тогда: 
- для упругой задачи.
Для балки при нелинейной зависимости будем иметь:
Выражение деформирования через прогиб балки:
(совпадает с изменением 
в упругой балке)
Тогда выражение для момента имеет вид:
Подставляем в данную формулу следующие величины:
Тогда изгибающий момент: 
Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения:
Подсчитаем величины:
-момент инерции поперечного сечения
-геометрическая характеристика высшего порядка
Тогда выражение для изгибающего момента имеет вид:
подставим в формулу Журавского:
Тогда:
(1)
Для упругой балки получаем:
Уравнение (1) соответствует уравнению равновесия элемента балки под действием распределенной нагрузки q с учетом нелинейной зависимости деформации.
Для конкретизации задачи необходимо задать
1)q(z)
2)граничные условия по концам балки:
