Лекция 31

Расчет пластинок методом Власова-Конторовича

Рассмотрим конкретную пластинку.

Входные данные: a, b, h, E, μ.

Условие закрепления пластинки (4)

Условие нагружения q(x,y) – аналогичная функция.

Если распределение q(x,y) сложное, то нагрузку следует разложить в ряд и получить решение на каждый член ряда. Затем полученное суммируется.

Расчет загружения половины плоскости. По нормам расчет ведется по загружению всей половины и четверти плоскости.

Удобнее решать задачу в безразмерном виде.

Входными параметрами являются:

Условие закрепления (4)

- функция с разделяющимися переменными

При этом необходимо записать в безразмерном виде дифференциальные уравнения изгиба пластин:

(1)

Необходимо записать граничные условия:

: , - жесткое закрепление

Если шарнирное закрепление:

: ,

Т.к. сторона шарнирного закрепления остается прямой, то => (2)

Шарнирное закрепление : , =>

: ,

В соответствии с методом Власова-Канторовича запишем:

(3)

Одну из функций необходимо построить по методу В.З. Власова.

С₃=0, С₄=0

После этого функция становится полностью определенной.

Используем принцип Лагранжа.

Сумма работ внешних и внутренних сил упругости системы на любом возможном и бесконечно молом равно 0.

: заменено приближенным выражением.

- приближенное выражение.

- известная функция

- малое возмущение

Тогда получим:

Все величины, зависящие от η, могли быть получены из-под значения интеграла:

(4)

Т.к. функция известна, то известны и величины определенных интегралов:

В результате из выражения (4) получается обыкновенное дифференциальное уравнение вида, дающая точное решение.

(5)

Если рассмотреть полное дифференциальное обыкновенное уравнение с переменными коэффициентами, то для решения можно использовать метод конечных разностей.

Т.к. (5) является неоднородным уравнением, то решение запишется в виде:

- решение неоднородного уравнения, определяемое правилом (5) (6)

(7)

Приходим к алгебраическому уравнению (характеристическому):

(8)

,

Решение получается в комплексном виде. Необходимо преобразовать его в вид:

Тогда нужно подсчитать 2 величины:

Тогда решение однородного уравнения запишется в виде:

После этого необходимо частное найти решение уравнения:

Т.к. нагрузка по оси η постоянна и , то

- число

Тогда общее решение:

Если реализуется случай Р(η)=η, то

Остается найти произвольную постоянную интегрирования из условия закрепления пластинки по оси η

Получается система 4-х алгебраических уравнений относительно С₁, С₂, С₃, С₄, из которых находим эти величины.

: ,

Записываем выражение для производной функции у(η)

,,,,