Оцінка ступеня нерівномірності розподілу доходів населення

Розглянемо функцію y = f ( x ), яка характеризує нерівномірний розподіл доходів населення, де у – частка сукупного доходу, яку одержує частина х населення. Графік цієї функції наз. кривою Лоренца (рис. ). Очевидно,що

0 ≤ f ( x ) ≤ x x [ 0, 1 ], і нерівномірність розподілу доходів тим вища, чим більша площа фігури ОАВ.

Тому як міру нерівномірності використовують коефіцієнт Джині k , який дорівнює відношенню площі фігури ОАВ до площі трикутника ОАС.

Приклад.За даними досліджень розподілу доходів населення деякої країни, крива Лоренца описується функцією , де у – частка сукупного доходу, яку одержує частина x населення. Обчислити коефіцієнт Джині.

Розв’язання. Коефіцієнт Джині обчислюється за формулою

, оскільки .

Тоді

.

Відповідь. Досить високе значення коефіцієнта Джині свідчить про суттєво нерівномірний розподіл доходів населення даної країни.

5. Застосування в фінансових задачах

За формулою (10)

обчислюють загальний вклад S_t через Т років, і – питома процентна ставка , р – процентна ставка на рік.

Задачу визначення початкового вкладу S₀ за умови, що відомий вклад S_t , одержаний через t років за річної процентної ставки р , називають дисконтуванням.

Повну дисконтну суму за час Т обчислюють за формулою

. (11)

Приклад. Визначити дисконтну суму за три роки за процентної ставки 8 %, якщо базові капіталовкладення становили 10 млн. грн., а очікуване зростання капіталу - 1 млн. грн.

Розвязання. Капіталовкладення задаються функцією, з формули для маємо

млн. грн.

6. Застосування в задачах реалізації товарів

Розглянемо криву попиту деякого товару у вигляді ( рис.1). Якщо - ціна одиниці товару, то загальна сума витрат на придбання товару обсягом становить .

На рис. 1. через позначено рівноважну ціну, а через - обсяг товару, який реалізується за ціною . Точка рівноваги – це точка перетину кривих попиту й пропозиції.

Припустимо, що товар обсягом не відразу весь потрапляє на ринок, а надходить невеликими партіями, рівними . Це поширена тактика реалізації товару. Мета продавця зрозуміла: підтримувати ціну товару, вищу за рівноважну. Після надходження першої партії товару його обсяг на ринку становить . Ціна, що відповідає цьому обсягові, знаходиться з кривої попиту й становить .

Якщо величина мала, то можна вважати, що вся партія реалізується за ціною , а витрати споживача на цю партію товару становлять .

Після надходження на ринок другої партії товару обсягом загальний обсяг його на ринку становить , а відповідна ціна також визначається з кривої попиту й становить .

Можна вважати, що друга партія товару обсягом реалізується за ціною , а витрати споживача на цю партію товару становлять .

Цей процес триває доти, доки дістанемо . Для того щоб потрапити в точку , потрібно вибрати .

Товар останньої -ї партії реалізується за ціною , тобто за рівноважною. Витрати споживачів на цю партію становлять .

Загальні витрати споживачів на загальний обсяг товару :

.

Із рис. 2. видно, що загальні витрати споживачів дорівнюють сумі площ прямокутників, а ця сума , своєю чергою, наближено дорівнює визначеному інтегралу

. (12)

Зі збільшенням величина відповідно як завгодно мала. Тоді наближена рівність перетвориться на точну. Отже, сумарні витрати споживачів обчислюється за формулою

. (13)

Означення. Надлишок споживача -це різниця між можливими й реальними витратами споживача в умовах ринку:

. (14)

Геометричну інтерпретацію цього означення наведено на рис. 3., де - крива попиту; - точка рівноваги.

Приклад.Знайти надлишок споживача, якщо крива попиту визначається функцією , а рівноважний обсяг товару .

Підставивши значення у функцію попиту, дістанемо рівноважну ціну:

Використовуючи формулу (14), матимемо

.

Розглянемо ще одне поняття ринкової економіки – додаткову вартість, або надлишок, виробника. Для цього візьмемо криву пропозиції деякого товару . Графік цієї кривої й точку рівноваги ( перетину з кривою попиту) показано на рис. 4.

Завдяки ринковим відносинам як деякі споживачі мають змогу придбати товар за ціною, нижчою ніж та, яку вони готові були заплатити, так і виробники іноді можуть продати товар за вигіднішою ціною, ніж та, з якою вони погоджувалися. Припускаючи, що весь товар обсягом буде реалізовано на ринку за ціною , обчислимо доход споживачів: .

Нехай водночас обсяг товару, менший за , виробники реалізують за ціною, нижчою, ніж . Тоді додаткова вартість виробника обчислюється за формулою

(15)

Приклад.Знайти додаткову вартість виробників, якщо крива пропозиції визначається функцією , а рівноважний обсяг товару .

Підставивши значення у функцію пропозиції дістанемо рівноважну ціну:

Використовуючи формулу (15), матимемо