Пересечение прямой линии с поверхностью

Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры се­чения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью.

Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций.

Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями:

· выбором положения вспомогательной секущей плоскости;

· переводом секущей прямой в частное положение.

12.1 Вспомогательная секущая плоскость - проецирующая

12.1.1 Задание:определить точки пересечения прямой т и пира­миды SABC (рисунок 12.1).

Решение:для решения задачи прямую т заключают во фронталь­но проецирующую плоскость (). Фронтальная проекция фигу­ры сечения совпадает с фронтальной проекцией следа плоскости ₂. Отмечают проекции точек (1₂, 2₂, 3₂) пересечения ребер пирамиды (SA, SB,SC), в которых фронтальный след плоскости пересекает эти ребра. Зная положение фигуры сечения (1₂, 2₂, 3₂) на фронтальной проекции, определяют горизонтальную проекцию фигуры сечения (1_1,2₁, 3₁). Соединив горизонтальные проекции (1₁,2₁,3₁) точек (1, 2, 3) прямолинейными отрезками ((1₁2₁), (2₁3₁), (З₁1₁)), получают фигуру сечения — треугольник 123. Далее определяют точки пересечения го­ризонтальной проекции фигуры сечения (1₁2₁3₁) с горизонтальной проекцией т₁ прямой т — точки m₁ и n₁. Затем строят фронтальные проекции (М₂ и N₂) точек пересечения прямой т с поверхностью пи­рамиды SABC.

Рисунок 12.1

12.1.2 Задание:определить точки пересечения прямой т с по­верхностью прямого кругового цилиндра (рисунок 12.2).

Решение:при решении задачи достаточно отметить проекции то­чек пересечения М и N прямой т с поверхностью цилиндра на гори­зонтальной проекции - точки m₁ и N₁ Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими пря­мыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой т с поверх­ностью цилиндра М₂ и N₂ находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке.

Рисунок 12.2

Рисунок 12.3

12.2 Вспомогательная секущая плоскость общего положения

Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получались простейшие сечения.

Например, при пересечении конической поверхности прямой ли­нией такой плоскостью является плоскость, проходящая через верши­ну и пересекающая эту поверхность по прямым линиям. При пересе­чении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую парал­лельно образующим цилиндра.

12.2.1 Задание:определить точки пересечения прямой т с по­верхностью прямого кругового конуса (рисунок 12.3).

Решение:прямую т заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми т и n, проходящими через точку А, которая выби­рается произвольно на заданной прямой т.

Для определения горизонтального следа плоскости Р находят го­ризонтальные следы прямых т и п. Следы отмечают точками, напри­мер, 1₁ и 2₁, в которых горизонтальный след p₁ плоскости Р пересека­ет основание конической поверхности. Проекции S₁1₁ и S₂2₂ - обра­зующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоско­стью Р.

Точки k₁ и l₁ - горизонтальные проекции искомых точек пересе­чения. Зная положение k₁ и L₁ определяют К₂ и L₂.

12.3 Перевод секущей прямой в частное положение

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении полу­чается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - про­ецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоско­сти проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует про­извольно расположенную прямую перевести в положение, параллель­ное какой-либо плоскости проекции, тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.

12.3.1 Задание:определить точки встречи прямой т, заданной от­резком АВ, с поверхностью сферы (рисунок 12.4).

Рисунок 12.4

Решение:при решении этой задачи переводят прямую т в поло­жение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей П₄/П₁в которой т || П₄, и переходят от системы П₂/П₁к системе П₄/П₁.Новую ось проекций x_1-4 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой A₁B₁.

Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек a₁ и В₁ проводят прямые, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости П₄ откладывают координаты z_A и Z_B т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек А₂ и В₂. Новая про­екция А₄В₄будет натуральной длиной прямой АВ. Аналогично нахо­дят и центр сферы О₄.

В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р () пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость Пi в отрезок, а на плоскость П₄ в окружность тем же радиусом R. Точки К₄ и L₄ -вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют вначале k₁ и L₁ а затем К₂ и L₂.

12.4 Плоскость, касательная к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых — касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.

Для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме), и к ка­ждой их них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные касательные определяют касательную плоскость.

12.4.1 Задание:построить плоскость Р, касательную к поверхно­сти сферы и проходящую через точку А (рисунок 12.5).

Решение:плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к ра­диусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя радиус ОА, строят плоскость, задавая ее горизонталью АВ и фронталью АС. При этом горизонтальная проекция A₁B₁ перпендикулярна к A₁ O₁,а фрон­тальная проекция А₂С₂ перпендикулярна к А₂О₂.

Рисунок 12.5