Функций

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

1. Число А является пределом функции f(x) в точке х₀ тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая функция при такая, что

2. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых (бесконечно больших) функций при является бесконечно малой (бесконечно большой) функцией.

3. Произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию является бесконечно малой.

4. Частное при делении постоянной С, на бесконечно малую функцию при является бесконечно большой при

5. Частное при делении постоянной С на бесконечно большую функцию при является бесконечно малой при

При вычислении пределов функций удобно применять метод замены переменной, т. е. , где , если .

Пример 1. Пользуясь определением предела функции в точке по Коши, доказать, что

Решение. Зафиксируем произвольное значение

Согласно определению, требуется по e найти такое число чтобы из условия следовало неравенство (16.2), которое в данном случае имеет вид:

(16.6)

Упрощая последнее неравенство, получим:

Откуда, поскольку , имеем:

Получаем:

Следовательно, если принять то из неравенства будет следовать неравенство (16.6). Это и означает, что

Пример 2. Вычислить пределы:

1) 2) 3)

Решение. 1) При подстановке в выражение, стоящее под знаком предела, значения получаем

2) При подстановке в выражение, стоящее под знаком предела, значения получаем неопределенность вида , для раскрытия которой разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

Подставив полученные выражения, получим:

3) Непосредственная подстановка значения приводит к неопределенности Чтобы раскрыть ее, в числителе используем формулу бинома Ньютона, а многочлен в знаменателе разложим по схеме Горнера:

Пример 3. Вычислить

Решение.Представим функцию как произведение двух функций и

Функция является суммой двух бесконечно малых функций при так как и Значит – бесконечно малая функция при

Функция является ограниченной, так как значения этой функции будут лежать в промежутке

Получаем произведение бесконечно малой функции на ограниченную

Значит функция f(x) – есть бесконечно малая при т. е.

Пример 4. Вычислить предел функции:

1) 2)

Решение.1) Непосредственная подстановка в выражение, стоящее под знаком предела, значения дает неопределенность Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом:

Возвращаясь к пределу, получим:

2) При непосредственном вычислении предела получим неопределенность вида . Чтобы избавиться от нее, домножим и разделим выражение на

Задания