Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:
(15.22)
где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.
Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями.
1. Эллипсоид: 
(рис. 15.1).
 |
Рис. 15.1
2. Конус второго порядка: 
(рис. 15.2).
 |
Рис. 15.2
3. Гиперболоиды
1) однополостный:
 (рис. 15.3);
| 2) двуполостный:
 (рис. 15.4).
|
 |
Рис. 15.3 Рис. 15.4
4. Параболоиды
1) эллиптический:
 (рис. 15.5);
| 2) гиперболический:
 (рис.15.6).
|
 |  | ||
Рис. 15.5 Рис. 15.6
5. Цилиндры
1) эллиптический:
 (рис. 15.7);
| 2) гиперболический:
 (рис. 15.8);
|
 |  | ||
Рис. 15.7 Рис. 15.8
3) параболический: 
(рис. 15.9).
 |
Рис. 15.9
Основным методом исследования формы поверхности является метод параллельных сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о типе поверхности. Таким образом можно изучать основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.
При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты 
приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.
В определенных случаях уравнение (15.22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим, так называемые, вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев:
– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);
– точка (0, 0, 0);
– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);
– прямая (ось Oz);
– пара пересекающихся плоскостей;
– пара параллельных плоскостей;
– пустое множество точек;
– плоскость (пара совпадающих плоскостей).
Задания