Число элементов в объединении и разности конечных множеств

Лекция № 7

Чтобы найти число элементов объединения двух конечных непересе­кающихся множеств, достаточно найти это объединение и пересчитать элементы. Но можно определять число элементов в объединении конечных мно­жеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов. Выясним как это делать.

Условимся предложение «Множество А содержит а элементов» за­писывать в таком виде: п(А)= а. Например, если А = {х, у, z}, то ут­верждение «Множество А содержит три элемента» можно записать так: п(А) = 3.

Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т.е.

п(АÈВ) = п(А) + п(В) = а + b. (1)

Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств, его можно обобщить на случай t попарно непересекающихся множеств, т.е. если множества А₁, А₂,… , А_t попарно не пересекаются, то n(А₁ÈА₂È… ÈА_t ) = п(А_!) + п(А₂) + ... + п(А_t).

Пример. А = {x, y, z}, В = {k, l, т, р}, С = {q, s}. Найдем число элементов в объединении данных множеств.

Пересчитав элементы данных множеств, получаем, что п(А) = 3, п(В) = 4, и п(С) = 2. Видим, что АÇВ = Æ, АÇС =Æ , ВÇС =Æ, т.е. данные множества попарно не пересекаются. Тогда, согласно правилу нахождения числа элементов в объединении конечных множеств, по­лучаем:

п(АÈ ВÈС) = п(А) + п(В) + п(С) = 3 + 4 + 2 = 9.

Таким образом, в объединении заданных трех множеств содержит­ся 9 элементов.

Формула (1) позволяет находить число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств. А если множества А и В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их объединении?

Пусть, например, А = {х, у, z}, а В = {х, z, р, s, k}. Тогда А È В = {х, y, z, р, s, k}, т. е. если п(А) = 3, n (В) = 5 и АÇВ ≠ Æ, то п(АÈ В) = 6. Нетрудно видеть, что в данном случае п (АÇВ) = 2 и, значит, общие элементы множеств А и В в объединении этих множеств записаны только один раз.

В общем виде правило подсчета элементов в объединении двух конеч­ных множеств может быть представлено в виде формулы:

п(АÈB) = n(A) + n(B)– n(AÇВ). (2)

Еще более сложно выглядит формула для подсчета числа элементов объединения трех множеств:

п(АÈBÈС) = n(A) + n(B)+ n(С) – n(AÇВ)– n(AÇС)– n(ВÇС)+ n(AÇВÇС).

Нетрудно убедиться в том, что если В Ì А, то

п(В'_А) = п(А)–п(В),

т.е. число элементов дополнения подмножества В до данного конеч­ного множества А равно разности численностей этих множеств.

Пусть, например, А = {х, у, z, р, t}, В = {х, р, t}. Найдем число эле­ментов в дополнении подмножества В до множества А.

Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что п(А) = 5, п(В) = 3. Тогда п(В'_А) = п(А) - п(В) = 5 – 3 = 2. Таким образом, в до­полнении множества В до множества А содержится два элемента.

Полученные формулы для подсчета числа элементов в объедине­нии двух и более множеств можно использовать для решения тексто­вых задач следующего вида.

Задача. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 -немецкий язык, а 15 - английский и немецкий языки. Сколько студен­тов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть А - множество студентов курса, изучающих анг­лийский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С - множество всех студентов курса. По условию задачи: п(А) = 32, п(В) = 21, п(АÇВ) = 15, п(С) = 40. Требуется найти число сту­дентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В. Для этого воспользуемся формулой (2):

п(АÈВ) = п(А) + п(В) - п(А Ç В) = 32 + 21 – 15 = 38.

2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни англий­ский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.