Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей позволяет вычислять вероятности суммы двух или нескольких событий. Для двух событий теорема формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB). (1.13.1)

Докажем теорему для схемы случаев. Пусть общее число элементарных исходов равно N, причем k из них влекут за собой событие А, l исходов - событие В и m - событие АВ (рис. 1.14). Из условия и рис.1.14 следует, что вероятности событии А, В и АВ равны: P(A)= k/N, P(B)= l/N, P(AB)= m/N.

Объединению (сумме) событий А и В благоприятствует k+(l-m) событий. Следовательно,

Теорему сложения вероятностей можно обобщить на случай, когда число событий больше двух. Так, например, формула для вычисления вероятности суммы трех совместных событий имеет вид

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+

+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). (1.13.2)
Справедливость этой формулы наглядно следует из геометрической интерпретации (рис.1.15).

Теорема сложения доказывается только для схемы случаев. Если ситуация к схеме случаев не сводится, то теорема обосновывается тем, что приведенные в доказательстве соотношения справедливы для относительных частот. Действительно, если при Nc испытаниях событие А появилось kc раз, событие В - lc раз и событие АB - mc раз, то событие А+В осуществилось (kc+lc-mc) раз. Таким образом,

P*(A+B)= (kc+lc-mc)/Nc=(kc/Nc)+(lc/Nc)-(mc/Nc)=

= P*(A)+P*(B)-P*(AB). (1.13.3)

Если число Nc испытаний достаточно велико, то соотношения для частот переходят в соотношения для вероятностей, а формула (3) переходит в (1).

Из теоремы сложения вытекает ряд следствий.

Следствие 1.Вероятность суммы несовместных событий А1 и А2 равна сумме вероятностей этих событий:

P(А1+А2)= P(А1)+P(А2). (1.13.4)

В самом деле, если А1 и А2 несовместны, то Р(А1А2)=0. Тогда из (1) следует (4).

Следствие 2.Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице:

(1.13.5)

Действительно, пусть события А1, А2,..., Аn несовместны и составляют полную группу. Тогда по теореме сложения будем иметь

P(А1+А2+…+Аn)=P(А1)+P(А2)+…P(Аn).

Так как событие А1+А2+…+Аn достоверно, ибо оно осуществляется при каждом опыте и вероятность его равна единице, то

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

(1.13.6)

 
 

Для доказательства учтем, что А и - несовместные события, образующие полную группу. Поэтому следствие 3 является частным случаем следствия 2. Оно выделено в виду его особой важности. Часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем прямого. Тогда сначала определяют Р() , а затем находят вероятность Р(А) по формуле

(1.13.7)