Представление произвольной функции на бесконечном интервале

 

Непериодический сигнал можно выразить непрерывной суммой (интегралом) экспоненциальных функций.

Существует два способа представления.

1. Функция f(t) выражается через экспоненциальные функции на конечном интервале (-T/2<t<T/2), а затем выполняется условие T®¥.

2. Способ сводится к созданию периодической функции с периодом T, которая совпадает с f(t) только в пределах одного периода. При T®¥ оказывается, что периодическая функция имеет один единственный период на интервале (-¥<t<¥), что соответствует функции f(t).

Первый и второй способы существенно не различаются, но второй более удобен.

Пусть задана функция f(t), гипотетический вид которой показан на рис.3.2. Эту функцию надо представить на интервале (-¥<t<¥) суммой экспоненциальных функций.

Рис.3.2

Построим новую периодическую функцию, в которой fТ(t) повторяется через Т секунд. Вид функции fТ(t) показан на рис.3.3.

Рис.1.3

При T®¥будет выполняться условие . Таким образом, ряд Фурье, представляющий функцию f(t) на бесконечном интервале, будет также представлять f(t) при T=¥.

Для функции fТ(t) разложение в ряд имеет вид

, где .

Пусть T®¥, тогда w0®0 и спектр становится плотнее (чаще). При T®¥ амплитуды Fn®0, но они существуют на любой частоте, т.е спектр из дискретной функции превращается в непрерывную.

Введем новые обозначения nw0=wn. Так как Fn функции от аргумента wn, то заменим Fn на Fn(wn). Обозначим TFn(nw0)=TFn(wn)=Fn(wn).

Тогда

, . (1.9)

Так как T=2p/w0, то

. (1.10)

Равенство (1.10) говорит о том, что fТ(t) можно выразить суммой экспоненциальных функций с частотами wi, i=1,2,..,n. Амплитуда составляющей на частоте wn равна F(wn)w0/2p, т.е. пропорциональна F(wn).

Графическая иллюстрация формулы (1.10) представлена на рис.3.4.

Рис.3.4

Если F(wn)ejwnt - действительные величины, то формула (1.10) есть сумма площадей прямоугольников. Чем меньше w0, тем лучше точность аппроксимации. При T®¥ w0®0 обозначим через dw. Сумма в уравнении (1.10) переходит в интеграл. Кривая оказывается непрерывной функцией частоты и записывается через F(w)ejwt. При T®¥ fТ(t) ® f(t) и формулы (1.9) и (1.10) имеют вид

, (1.11)

. (1.12)

Функция F(w) является частотным спектром функции f(t) и называется функцией спектральной плотности. Уравнение (1.12) – прямое преобразование Фурье, а уравнение (1.11) – обратное преобразование Фурье.