Представление произвольной периодической функции рядом Фурье

Пусть функция f(t)существует на бесконечном интервале времени (-¥<t<¥). Функция f(t) представима рядом Фурье на интервале (t₀,t₀+T). Если f(t) - периодическая функция, то покажем, что представление ее в виде ряда применимо ко всему интервалу (-¥,¥).

На интервале (t₀,t₀+T) функция имеет разложение

, (1.8)

а вне интервала правая и левая части равенства (1.8) могут не совпадать. Однако правая часть этого равенства является периодической функцией с периодом

.

Поэтому если f(t) - периодическая функция с периодом T=2p/w₀, то равенство (1.8) справедливо для всего интервала (-¥,¥). Выбор величины t₀ не является существенным фактором.