18. Лемма о рукопожатиях.

В связном графе s = ‹V, U › сумма степеней всех его вершин – четное число, равное удвоенному числу ребер графа:

|V|

å degV_i = 2|U|

i=1

Частные случаи:

§ для однородного связного графа степени 2 : |V| = |U| имеем колесо

- для полного графа: |V| |V-1| = 2U

__

20. В связном орграфе s = ‹V,U › сумма полустепеней всех его вершин равно числу дуг графа:

|V| |V| ___

å deg⁺V_i = å deg^-V_i = |U|

i=1 i=1

Следствия леммы о рукопожатиях:

21. Число вершин нечетной степени любого связного графа – четно

22. Число вершин однородного кубического графа всегда четно

3|V| = 2|U|

23. Во всяком графе с вершинами |V|³ 2 найдутся по меньшей мере 2 вершины с одинаковыми степенями.

24. Если в графе с вершинами |V|› 2 в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо в точности одна вершина степени "0", либо в точности одна вершина степени |V-1|

Теоремы и критерии об обходе графа s

§ Если граф связный, а V_i и V_j есть его единственные вершины нечетной степени, то этот граф обладает эйлеровым маршрутом с концами V_i и V_j

§ Если граф s обладает эйлеровым маршрутом( путем) с концами V_i и V_j (V_i¹ V_j), то граф s связный, а вершины V_i и V_j являются его единственными вершинами нечетной степени. Если граф связный и содержит ровно k вершин нечетной степени, то минимальное число покрывающих граф s ребер – непересекаюшихся цепей не обязательно простых равно k/2.

§ Если граф s связный и все его вершины четной степени, то он обладает эйлеровым циклом.

§ Если граф s обладает эйлеровым циклом(контуром), то он – связный и все его верщины четной степени.

§ Если граф связный, то можно построить цикличный маршрут, содержащий все ребра графа в точности два раза, по одному в каждом направлении.

Примечание. Приведенные теоремы о существовании в графе эйлеровых маршрутов и циклов являются необходимыми и достаточными признаками, т.е.

А ~ В = (А® В) ~ (В® А).