Лекция №10.
Беттердің жазықтықпен қиылысуы. Қиюшы жазықтықтар әдісі
Беттер жазықтықпен қиылысқанда қисық немесе сынық жазық сызықтар пайда болады.
| 
|
|
Сурет 1
|
Сурет 2
|
3б суретінде q {A, B, C, S} үшқырлы пирамиданың a жазықтығымен қиылысу сызығын салуға арналған есептердің шешуі көрсетілген.
Қимада төбелері пирамиданың бүйір қырларының a жазықтығымен қиылысу нүктелері сияқты анықталған D MNF үшбұрышы алынады :
M = SA ∩ a; N = SB ∩ a; F = SC ∩ a.
Бұл жерде түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктелерін салудың негізгі позициялық есебі үш рет шешіледі. Егер қиюшы жазықтық дербес орналасқан болса, есептің көп жеңілдейтінін 3а және 3б суреттерін салыстырып байқауға болады.
Егер жазықтық қисық бетпен қиылысса, онда жалпы жағдайда, қимада қисық сызық пайда болады. Оны салу үшін екі әдіс қолданылады:
1. Егер жазықтық сызықты бетпен қиылысса, онда қиылысу сызығын салу үшін беттің бойынан көптеген түзулер (жасаушылар) жүргізіп, олардың жазықтықпен қиылысу нүктелерін табу керек (сурет 2). Бұл жерде түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктелерін салуға негізгі позициялық есеп көп рет қайталанады.
Жазық қиманы анықтағанда алдымен, очеркте жататын тіректік нүктелерді, яғни көріну нүктелерін, одан кейін қиманың контуры толық анықталмаған жағдайда аралық нүктелерді табады.
Есеп.Жалпы жағдайда орналасқан a {D A B C} жазықтығымен конустық q {¦, T} бетінің m қиылысу сызығын салу (сурет 4).
| Конус пен жазықтық қиылысқанда, 2-ретті қисық сызық алынады. Бұл қисықты графикалық түрде анықтау үшін оның нүктелерінің дискретті {K, K¢, K¢¢, ..., Kn} жиынын салу жеткілікті.
Бұл жиынның әрбір (Ki) нүктесі a жазықтығының конустың тиісті жасаушы-ларымен (ℓ i) қиылысу нәтижесінде алынады (сурет 4).
Есептердің шешу алгоритмін келесі түрде көрсетуге болады:
1. {ℓ,ℓ¢, ℓ¢¢,..., ℓn} Ì q
2. K= ℓ ∩ a; K¢= ℓ¢∩ a;
K¢¢= ℓ¢¢∩ a, ..., Kn= ℓn ∩ a
3. {K,K¢, K¢¢, ...Kn} ® m .
|
| Сурет 4
|
2.Егержазықтық сызықтық емес бетпен қиылысса, онда қиылысу сызығын салу үшін жазықтықтың бойынан бірнеше дискретті түзулер алып, олардың беттермен қиылысу нүктелерін салады.
Бұл жерде түзу мен беттің қиылысу нүктелерін құру есебі бірнеше рет қайталанады.
Есеп. Жалпы жағдайдағы a {D ABC} жазықтығымен q-тор бетінің қиылысу m сызығын салу (сурет 5) керек.
Бұл жағдайда ізделетін сызық қисық болады, өйткені q беті сызықтық емес. m сызығының түрін анықтаймыз. Ол шеңбер бола алмайды, өйткені a {ABC} жазықтығы жалпы жағдайда орналасқан. (Егер қиюшы жазықтық n осіне перпендикуляр болса, яғниa || p2 , онда қимада шеңбер пайда болады). Демек, ізделінген m сызығы қисық, соған байланысты, оның m1, m2 проекциялары да қисық. Бұларды графикалық түрде анықтау үшін {M, N, M¢, N¢, ..., Mn, Nn} нүктелерінің дискретті жиынын салу керек.
q тор бетінің сызықтық емес болатынын ескере отырып, бұл есепті келесі алгоритм бойынша шешуге болады:
1. a {ABC} жазықтығынан түзулердің {ℓ,ℓ¢,ℓ¢¢,..., ℓn} дискретті жиынын жүргіземіз (сурет 5).
2. ℓ,ℓ¢, ℓ¢¢,..., ℓn түзулерінің q бетімен қиылысу нүктелері болып табылатын {M, N, M¢, N¢, ..., Mn, Nn} нүктелерінің жиынын табамыз, яғни M,N = ℓ ∩ q; M¢,N¢ = ℓ¢ ∩ q; M¢¢,N¢¢ = ℓ¢¢ ∩ q
3. Алынған {M, N, M¢, N¢, ..., Mn, Nn} нүктелерінің дискретті жиыны іздеп отырған m қисық сызығын графикалық түрде анықтайды.
Жазықтықтан ℓi түзулерін таңдағанда, q бетінде жататын және ℓI түзуімен бәсекелес көмекші сызықтарды графикалық қарапайым (түзу, шеңбер) болуын көздеген жөн. Біздің жағдайда көмекші сызықтар ретінде a жазықтығының горизонталдарын алған ыңғайлы, яғни ℓi || p2.
m қисығын дәлірек графикалық түрде кескіндеу үшін, ізделетін тірек нүктелерінің маңызы үлкен: 1, 2 нүктелері тордың табанында жатады; 3, 4 нүктелері p1 жазықтығындағы қисықтың көрінетіндігінің шекарасы. Тіректік нүктелерді салу әдістері басқа нүктелерді салу алгоритмінен өзгеше болуы мүмкін.
Егер берілген элементтердің біреуі (жазықтық немесе бет) проекциялаушы жағдайда болса, онда қисық беттердің жазық қимасын салу жеңіл болар еді.
Есеп. q сфера беті мен фронталь проекциялаушы a{a1*} жазықтығының m қиылысу сызығын салу керек (сурет 6).
Сфера мен жазықтық қиылысқан барлық кезде шеңбер алынады.
a ^ p1 жазықтығы, яғни m шеңбері p1 жазықтығына [1, 2] кесіндімен, сонымен қатар [1, 21] Ì a1*; p2 жазықтығында m2 – эллипспен кескінделеді. Эллипсті графикалық түрде анықтау үшін, оның дискретті {12, 22, 32 ...N2}. нүктелер жиынын табу жеткілікті. Бұл жиынның әр нүктесін сфераның параллелдерінің (h) көмегімен табамыз.
Есеп. Ойығы бар геометриялық моделдердің горизонталь проекцияларын салуды аяқтаңыздар (суреттер 7, 8 ):
Геометриялық моделдердің ойықтары дербес орналасқан жазықтықтармен құралады. Сондықтан, есепті шешу үшін, дербес жағдайда орналасқан жазықтықтармен беттердің қиылысу сызығын көп рет қайталау қажет.
Беттердің өзара қиылысуы
Екі беттің қиылысқанда нүктелер жиыны екі бетке де бірдей тиісті болатын жазық немесе кеңіс сызықтар (қисық немесе сынық) пайда болады.
Қиылысу сызықтарының түрлері (түзу немесе қисық) бұл беттердің түрлерімен байланысты болады:
1. Егер қисық сызықты m және n ретті беттер қиылысса, олардың қиылысу сызықтары 
ретті қисықтар болады.
2. Егер қисық сызықты беттер көп қырлы бетпен қиылысса, онда олардың қиылысу сызықтарының кейбір буындары қисық сызықтар болатын сынық сызықтар.
3. Екі көп қырлы беттер қиылысқанда, жалпы жағдайда кеңіс сынық сызықтары пайда болады.
Екі беттің қиылысу сызығын салу алгоритмін былай жинақтауға болады: берілген беттер үшінші көмекші бетпен қиылысады, бұл көмекші қиюшы беттің берілген әр бетпен қиылысқан сызығын табады. Одан кейін алынған сызықтардың қиылысқан нүктелерін белгілейді.
Бұл алгоритмнің мүмкіндігі жан-жақты мол, өйткені, қиылысатын беттер әр түрлі беттер болуы мүмкін; бұл көмекші қиюшы жазықтықтарға да тиісті. Іс жүзінде көмекші қиюшы бет ретінде көп жағдайда жазықтық пен сфера қолданылады.
Енді көмекші қиюшы жазықтықтар және көмекші қиюшы сфералар әдістерін қарастырайық.
Көмекші қиюшы жазықтықтар әдісі.
q және Q беттері берілген болсын (сурет 9). Бұл беттердің қиылысу сызығы, жалпы жағдайда қисық болады. Оны графикалық түрде анықтау үшін бұл сызықтың дискретті нүктелер жиынын табу жеткілікті. Оларды салу үшін қиюшы жазықтықтар әдісін қолданамыз. Бұл әдіс төмендегі жолмен орындалады:
|
| 1. , q және Q беттерінің екеуін де қиып өтетін ыңғайлы ai қиюшы жазықтығы таңдалады (9).
2. ai жазықтығының бір жазық-тықпен, мысалы, Q (ni = ai ∩ Q) (ni) жазықтығымен қиылысу сызығы тұрғызылады.
3. ai жазықтығының екінші q жа-зықтығымен қиылысу (pi) сызығы салынады (pi = ai ∩ q).
|
|
Сурет 9
|
4. Алынған ni және pi сызықтарының қиылысу нүктелері (А және В) анықталады ( А, В = ni ∩ pi).
Салынған нүктелер қиылысатын екі бетке де бірдей тиісті, сондықтан олардың қиылысу сызығында жатады.
Жоғарыда келтірілген операцияны көп рет қайталай отырып, ізделінген сызықты жоғары дәлдікпен салуға керекті нүктелердің кез-келген санын алуға болады.
Көмекші қиюшы (ai) жазықтықтарды таңдағанда, барлық жағдайда p және n сызықтарының графикалық қарапайым (түзу немесе шеңбер) болуы мәнді екенін ескеру керек. Ізделінген сызықтың көп нүктелерінің арасында оның пішінін және түрін дәл анықтайтын тірек (ерекше) нүктелер болады.
Есеп. Коноид q, ГО q {
,b, p1} және айналмалы цилиндр Y берілген. Осы беттердің қиылысу m-сызығын анықтау керек (m = q ∩ Y) (сурет 10).
Бұл берілген беттер қисық сызықты, демек олардың қиылысу сызығы – қисық сызық болады.
Ізделетін отырған қисықтың нүктелерінің дискретті жиынын {М, М¢, М²,…, Мn } табу үшін p1 жазықтығына параллель көмекші қиюшы a, a¢, a¢¢…, жазықтықтарын пайдаланамыз.
   
| Мұндай жазықтықтар берілген сызықтық беттерді, олардың жасаушыларының бойымен қиып өтеді.
1. Көмекші қиюшы жазықтықты, мысалы a¢{a2*} || p1 жүргіземіз.
2. q каноид бетімен a¢ жазықтығының қиылысу n сызығын саламыз, бұл жерде n–жасаушы (n = a¢ ∩ q}.
3. Y цилиндр бетімен a¢ жазықтығының қиылысу р сызығын саламыз, бұл жерде рi және рi¢ түзулер жұбы.
4. n және р (Mi, Mi¢= n ∩ р) сызықтарының қиылысу нүктелері Mi, Mi¢ саламыз.
Алынған Mi, Mi¢ нүктелері ізделетін m-қисығында жатады. Осы процессті қайталай отырып m қисығының қажетті нүктелерін алуға болады.
|
|
Сурет 10
|
Есеп. j-тор беті мен y сфера бетінің қиылысу m{m1, m2} сызығын салу (сурет 11).
|
| Бұл есептің шешу жоспарын мына түрде қабылдаған жөн:
1. m қисығының 1 және 2 ерекше нүктелерін белгілейміз. Бұл нүктелер экстремаль нүктелер. Олардың фронталь проекциялары беттердің очерктерінің p1 жазықтығындағы қиылысуы ретінде анықталады.
2. m қисығының аралық дискретті жиынын саламыз.
Есептің шешу алгоритмін нақты нүктелерді, мысалы 3 және 4 нүктелерін салу мысалында қарастырамыз:
1. a¢{a1*} || p2;
2. n = a¢ ∩ y, n {n1n2} – шеңбер Þ n2 (O2R¢);
3. р= a¢ ∩ y, р {р1р2} – шеңбер Þ р2 (O,r);
4. 3, 4 = р ∩ n; 3, 4 Ì m. m қисығының пішінін дәлірек анықтау үшін, ерекше және аралық нүктелердің жеткілікті санын салу керек.
|
| Рис. 4.30
|
Сурет 11
