Пример 4.2.

Системы счисления и формы представления чисел

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

ИНФОРМАЦИОННО-ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ

Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной систе­ме счисления.

Система счисления— это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позици­онные и непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зави­сит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не ме­няют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной сис­теме счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в преде­лах от 0 до Р-1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

а_т-₁Р^т-1 + а_m-2Р^m-2 + ... + а₁Р ¹+a_oP° + a_-1P^-1+a_-2P^-2 + .. . + a_-SP^-S (1)

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов — для целой части числа (т разрядов);

• отрицательные значения — для дробной (s разрядов).

Пример 4.1.Позиционная система счисления — арабская десятичная система, в кото­рой: основание P=10, для изображения чисел используются 10 цифр (от 0 до 9). Непо­зиционная система счисления — римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (XIV, CXXVII и т.п.).

Максимальное целое число, которое может быть представлено в т разрядах:

N_max=P^m–1

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

N_max=P^S.

Имея в целой части числа т, а в дробной s разрядов, можно записать всего Р ^m+S раз­ных чисел.

Двоичная система счисления имеет основание Р = 2 и использует для представле­ния информации всего две цифры: 0 и 1. Существуют правила перевода чисел из одной сис­темы счисления в другую, основанные в том числе и на соотношении (1).

101110,101₍₂₎ = 1∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2°+1∙2^-1+0∙2^-2+1∙2^-3 = 46,625₍₁₀₎, т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

• естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

• нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последователь­ности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Пример 4.3.В десятичной системе счисления имеются 5 разрядов в целой части числа (до запятой) и 5 разрядов в дробной части числа (после запятой); числа, запи­санные в такую разрядную сетку, имеют вид:

+00721,35500; +00000,00328; -10301,20260.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.

Пример 4.4.Диапазон значащих чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии т разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) будет:

P^-S ≤ N ≤ P^m-P^-S.

При P = 2, m=10 и S = 6: 0,015≤ N ≤1024.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В со­временных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком, причем абсолют­ная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

N=±MP^±r,

где М—мантисса числа (‌‌‌‌│М‌│ ‌‌‌‌‌< 1);‌

r — порядок числа (r — целое число);

Р — основание системы счисления.

Пример 4.5.Приведенные в примере 4.3 числа в нормальной форме запишутся так: +0,721355*10³ ; +0,328*10^-3 ; -0,103012026*10⁵.

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и яв­ляется основной в современных ЭВМ.

Пример 4.6.Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при нали­чии т разрядов у мантиссы и 5 разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов по­рядка и мантиссы) будет:

P^-m P^-(Ps-1)≤ N ≤ (1-P^-m)P^(Ps-1)

При Р = 2, m = 10 и s = 6 диапазон чисел простирается примерно от 10 ^-19 до 10¹⁹.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак "+", код 1 — знак "-".

Примечание. Для алгебраического представления чисел (т.е. для представле­ния положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специ­альные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаще именно он.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она исполь­зуется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения маши­ны, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (табл. 4.1) и в таком виде записывают­ся последовательно друг за другом.

Таблица 4.1. Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр

Пример 4.7. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001011100000011.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост — вы­полняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применя­ются буквы А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Пример 4.8. Шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так: 1111000101111011.

Варианты представления информации в ПК

Вся информация (данные) представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы вве­дены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов (табл. 4.2). Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, храни­мой или обрабатываемой в ЭВМ.

Таблица 4.2. Двоичные совокупности

Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем данных. Биты в числе (в слове, в поле и т.п.) нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда.

В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Поля постоянной длины:

слово — 2 байта двойное слово — 4 байта

полуслово — 1 байт расширенное слово — 8 байт

слово длиной 10 байт — 10 байт

Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова, числа с плавающей запятой — формат двойного и расширенного слова.

Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обя­зательно равный целому числу байтов.

Пример 4.9.Структурно запись числа -193₍₁₀₎ = -11000001₍₂₎ в разрядной сетке ПК

выглядит следующим образом.

Число с фиксированной запятой формата слово со знаком:

Число с плавающей запятой формата двойное слово:

Двоично-кодированные десятичные числа могут быть представлены в ПК полями переменной длины в так называемых упакованном и распакованном форматах.

В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по 4 дво­ичных разряда (полбайта), при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 — знак "+" и 1101 — знак "-").

Структура поля упакованного формата:

байт

Здесь и далее: Цф — цифра, Знак — знак числа.

Упакованный формат используется обычно в ПК при выполнении операций сложения и вычитания двоично-десятичных чисел.

В распакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по це­лому байту, при этом старшие полубайты (зона) каждого байта (кроме самого младшего) в ПК заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом), а в младших (левых) полубай­тах обычным образом кодируются десятичные цифры. Старший полубайт (зона) самого младшего (правого) байта используется для кодирования знака числа.

Структура поля распакованного формата:

Распакованный формат используется в ПК при вводе-выводе информации в ПК, а также при выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел.

Пример 4.10.Число -193₍₁₀₎ = -000110010011 _(2-10) в ПК будет представлено:

в упакованном формате —

в распакованном формате —