Оценка параметров регрессионной модели

Исходными данными для получения оценок параметров регрессионной модели технической системы является информация по значениям управляемых факторов (или неуправляемых – при проведении пассивного эксперимента) и функции отклика Y. Эта информация представляется в виде матрицы:

.

Отклик представляется как:

.

- вектор-строка значений факторов в i-ом опыте;

- значение j-го фактора в i-v опыте.

Значения базисных функций во всех опытах представляют матрицу базисных функций:

,

где – вектор-строка значений базисных функций в i-м опыте.

Используя эти матрицы необходимо найти оценки коэффициентов регрессии, представляемых вектором-столбцом:

.

Уравнение регрессии устанавливает зависимость между оценкой математического ожидания отклика и факторами , то есть:

;

В связи с наличием помехи значение функции отклика в i-м опыте y_i будет отличаться от , то есть будет справедливо:

,

где ;

– ошибка уравнения регрессии в i-м опыте.

Для определения коэффициентов ошибка минимизируется методом наименьших квадратов:

;

,

где – неизвестные переменные, которые наилучшим образом соответствуют полученным результатам эксперимента.

Значения коэффициентов, при которых принимаются в качестве оценок коэффициентов регрессии. Минимум функции Е имеет место при равенстве нулю частных производных этой функции по переменным :

;

;

...

Потом получаем систему алгебраических уравнений:

. (*)

Коэффициенты при неизвестных переменных являются элементами матрицы Ф:

,

где F – матрица базисных функций;

Матрица Ф – информационная матрица Фишера.

Результат решения системы (*) есть коэффициенты регрессии b. Система решается методом Гаусса.