Оценка переходного процесса по степени устойчивости

Характеристики переходного процесс можно оценить по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней. Так, длительность свободного переходного процесса определяется корнями, наиболее близко расположенными к мнимой оси. Корни, значительно дальше расположенные от мнимой оси, не влияют на длительность переходного процесса, так как определяют быстро затухающие составляющие процесса.

При приложении внешних сил вида скачка или импульса переходный процесс зависит также и от взаимного расположения корней числителя (нулей) и корней знаменателя (полюсов) передаточной функции замкнутой системы.

При заданных параметрах системы, когда полюсы однозначно определены, нули зависят от места приложения внешней силы и искомой переменной. Расположение полюсов полностью определяет поведение системы только в одном случае – когда внешняя сила воздействует на тот параметр, переходный процесс которого оценивается.

Если какой-либо нуль близко расположен к какому-либо полюсу передаточной функции, то соответствующая составляющая переходного процесса мала. В этом случае говорят, что полюс скомпенсирован нулем. Таким образом, доминирующее влияние на длительность переходного процесса при наличии внешних сил имеют полюсы, расположенные ближе всего к мнимой оси и не скомпенсированные нулями. Эти полюсы часто называют доминирующими.

Для автоматически регулируемой электрической системы характерны комплексно-сопряженные доминирующие полюсы, вследствие чего переходный процесс имеет большей частью колебательный характер.

Доказано, что при удалении от начала координат корней p_i амплитуды соответствующих составляющих убывают тем быстрее, чем больше модуль полюса p_i по сравнению с доминирующими полюсами p_1,2.

В тех случаях, когда доминирующее значение имеют корни, расположенные ближе к мнимой оси, переходный процесс оценивается расстоянием от мнимой оси до ближайшего корня. Это расстояние называется степенью устойчивости l. Чем больше это расстояние, тем выше степень устойчивости. Величина степени устойчивости может служить приближенной оценкой быстроты затухания переходного процесса.

Действительно, переходный процесс закончится, когда все его составляющие затухнут.

Скорость затухания каждой k-й составляющей определяется абсолютным значением величины вещественной части соответствующего корня.

Чем больше по абсолютному значению вещественная часть корня, тем быстрее процесс затухает.

Составляющая переходного процесса с наименьшим значением вещественной части корня затухает медленнее остальных. В том случае, когда ближайшей к мнимой оси является пара комплексных корней, степень устойчивости называется колебательной, и в общих чертах процесс характеризуется синусоидой, огибающая которой затухает по экспоненте со степенью l.

Если ближайший к мнимой оси корень – действительный, то степень устойчивости называется апериодической.

Для сокращения трудоемких вычислительных операций определение l обычно совмещают с исследованием двух параметров системы, на плоскости которых

строятся кривые равной степени устойчивости, используя метод D-разбиения.