Базисные решения

Базис

Базис пространства – это линейно независимая система векторов, число которых равно размерности этого пространства. Любые три линейно независимые векторы образуют базис пространства R3, а так как независимыми векторами пространства R3 являются некомпланарные вектора, то любая тройка некомпланарных векторов может быть взята за базис. Любые два линейно независимые вектора образуют базис пространства R2 , то есть любая пара неколлинеарных векторов может быть взята в качестве базиса на плоскости R2. Если в качестве базиса взять единичные вектора, направленные по координатным осям, то любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов

(9.3)

 

Выражение 9.3 называется разложением вектора по базису . То есть разложить вектор по базису, это значит представить его в виде линейной комбинации векторов этого базиса.

 

Базисные решения – это частные решения системы, в которых все свободные переменные равны нулю.

Пример: Найти все базисы системы

12 13 14 15 16

23 24 25 26

34 35 36

45 46

 

За базисные берутся определители не равные нулю!

 

 

1 – сосчитали определители

2 – выделили определители , которые отличны от нуля

3 – выделили в треугольник пары, которым соответствуют определители отличные от нуля.

И так рассматриваются все базисные решения.

 

Элементы матричного исчисления. Линейные операторы.

 

Линейный оператор – это одно из фундаментальных понятий матричной алгебры. Рассмотрим два линейных пространства (размерности n и размерности m): если задан закон (правило), по которому каждому вектору X пространства Rn ставится в соответствии единичный вектор Y пространства Rm , то говорят, что задан оператор (преобразование) или отображение, действующий в пространство Rn и записывают:

Оператор называется линейным, если для любых векторов X и Y пространства Rn и любого числа выполняются соотношения:

Векторназывается образом вектора X, а сам вектор X – прообразом. Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор отображает пространство Rn в себя. Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное, всякой матрице n-порядка соответствует линейный оператор Rn пространства. Связь между вектором X и его образом (y) можно выразить в матричной форме уравнением:

А – матрица линейного оператора; X,Y – матрицы-столбцы из координатных векторов х и у.

Пример: в базисе

Найти образ у вектора

Ответ:

 

 

Действия над линейными операторами.

 

Суммой двух линейных операторов называется оператор , определенный равенством:

Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством:

Произведением линейных операторов и называется новый оператор, определяемый равенством:

Нулевой оператор переводит все векторы пространства Rn в нулевые векторы. Тождественный оператор .Он действует по правилу:

Теорема: Матрицы A и линейного оператора базисов и связаны соотношением , где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример: Найти матрицу , где ,

Решение: составим матричный переход:

=