Решение

Пример 2

Решение

Пример 1

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8 а для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Пусть событие А – мишень поражена первым стрелком.

Рассмотрим следующие гипотезы:

Н₁ – оба стрелка не попали;

Н₂ – попали оба стрелка;

Н₃ – первый стрелок попал, второй стрелок не попал;

Н₄ – второй стрелок попал, первый стрелок не попал.

Найдем вероятности гипотез:

Р(Н₁) = 0,2∙0,6 = 0,12, Р(Н₂) = 0,4∙0,8 = 0,32, Р(Н₃) = 0,8∙0,6 = 0,48,

Р(Н₄) = 0,4∙0,2 = 0,08.

Найдем условные вероятности события А

Р(A|H₁) = 0, P(A|H₂) = 0, P(A|H₃) = 1, P(A|H₄) = 1.

Найдем вероятность, что мишень поражена первым стрелком

P(H₃|A) = =

В урне лежит шар неизвестного цвета, с равной вероятностью белый или черный. В урну опустили один белый шар и тщательно перемешали. Наудачу извлекли один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что в урне остался белый шар?

Пусть событие А – в урне лежит белый шар.

Рассмотрим следующие гипотезы:

Н₁ –лежит белый шар;

Н₂ –лежит черный шар.

Найдем вероятности гипотез:

Р(Н₁) = 0,5; Р(Н₂) = 0,5.

Условные вероятности события А:

Р(А| H₁) = 1; P(A|H₂) = .

По формуле Бейеса находим:

Р(Н₁|A) =

6. Повторение опытов

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью p происходит событие A, то вероятность того, что событие произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой:

,

где , которая называется формулой Бернулли.

Вероятность появления хотя бы одного события A при n независимых опытах в одинаковых условиях равна .

Вероятность того, что событие наступит а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз находим соответственно но формулам:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .