Ранговая корреляция

В некоторых случаях встречаются признаки, не поддающиеся количественной оценке (назовём такие признаки объектами). Попытаемся, например, оценить соотношение между математическими и музыкальными способностями группы учащихся. «Уровень способностей» является переменной величиной в том смысле; что он варьирует от одного индивидуума к другому. Его можно измерить, если выставлять каждому индивидууму отметки. Однако этот способ лишен объективности, так как разные экзаменаторы могут выставить одному и тому же учащемуся разные отметки. Элемент субъективизма можно исключить, если учащиеся будут ранжированы. Расположим учащихся по порядку, в соответствии со степенью способностей и присвоим каждому из них порядковый номер, который назовем рангом. Корреляция между рангами более точно отражает соотношение между способностями учащихся, чем корреляция между отметками.

Тесноту связи между рангами измеряют так же, как и между признаками. Рассмотрим уже известную формулу коэффициента корреляции

Пусть тогда, учитывая, чтоможно записать

(1.22)

В зависимости от того, что принять за меру различия между величинами можно получить различные коэффициенты связи между рангами. Обычно используют коэффициент корреляции рангов Кэнделла (τ) и коэффициент корреляции рангов Спирмэна ρ.

Введём следующую меру различия между объектами: будем считать , если , и , если . Поясним сказанное на примере. Имеем две последовательности:

Рассмотрим отдельно каждую из них. В последовательности X первой паре элементов —2; 4 припишем значение +1, так как i<j; второй паре 2; 5 также припишем значение +1, третьей паре 2; 1 припишем значение —1, поскольку i>j, и т.д. Последовательно перебираем все пары, причём каждая пара должна быть учтена один раз. Так, если учтена пара 2; 1, то не следует учитывать пару 1; 2. Аналогичные действия проделаем с последовательностью Y, причём порядок перебора пар должен в точности повторять порядок перебора пар в последовательности X. Результаты этих действий представим в виде табл. 1.3.

Таблица 1.3

Х		Y
2;4	+1	1;5	+1	+1
2;5	+1	1;3	+1	+1
2;1	-1	1;4	+1	-1
2;3	+1	1;2	+1	+1
4;5	+1	5;3	-1	-1
4;1	-1	5;4	-1	+1
4;3	-1	5;2	-1	+1
5;1	-1	3;4	+1	-1
5;3	-1	3;2	-1	+1
1;3	+1	4;2	-1	-1
∑				+2

Рассмотрим формулу (1.22). В нашем случае и равна количеству пар, участвовавших в переборе. Каждая пара встречается только один раз, поэтому их общее количество равно числу сочетаний из п по 2, т.е. . Обозначая , получаем формулу коэффициента корреляции рангов Кэнделла:

(1.23)

Теперь рассмотрим другую меру различия между объектами. Если обозначить через средний ранг последовательности X, через — средний ранг последовательности Y, то . Поскольку ранги последовательности X и Y есть числа натурального ряда, то их сумма равна 7, а средний ранг . ТогдаСумма квадратов чисел натурального ряда равна . Тогда

Введём новую величину d, равную разности между рангами: d=X—Y, и определим через неё величину . Имеем:

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна

. (1.24)

У коэффициентов τ и ρ разные масштабы, они отличаются шкалами измерений. Поэтому на практике нельзя ожидать, что они совпадут. Чаще всего, если значения обоих коэффициентов не слишком, близки к 1, ρ по абсолютной величине примерно на 50% превышает τ. Выведены неравенства, связывающие ρ и τ. Например, при больших п можно пользоваться следующим приближённым соотношением: —1≤3τ—2ρ≤1, или . Коэффициент ρ легче рассчитать, однако с теоретической точки зрения больший интерес представляет коэффициент τ.

При вычислении коэффициента корреляций рангов Кэнделла для подсчёта s можно использовать следующий приём: одну из последовательностей упорядочивают так, чтобы её элементы были числами натурального ряда; соответственно изменяют и другую последовательность. Тогда сумму можно подсчитывать лишь по последовательности Y, так как все равны +1.

Если нельзя установить ранговое различие нескольких объектов, говорят, что такие объекты являются связанными. В этом случае объектам приписывается средний ранг. Например, если связанными являются объекты 4 и 5, то им приписывают ранг 4.5; если связанными являются объекты 1, 2, 3, 4 и 5, то их средний ранг (1+2+3+4+5)/5=3. Сумма рангов связанных объектов должна быть равна сумме рангов при ранжировании без связей. Формулы коэффициентов корреляции для ρ и τ в этом случае также можно вывести из формулы обобщённого коэффициента корреляции, только знаменатель выражения (1.21) в этом случае не равен n(n—1)/2. Если t последовательных членов связаны, то все оценки, относящиеся к любой вобранной из них паре, равны нулю; число таких пар t(t—1), Следовательно, Соответственно для другой последовательности

где t и u—число связанных пар в последовательностях.

Обозначая получаем

Аналогично находим выражение для ρ. Только в этом случае где t и и - число связанных пар в последовательностях, а

Если имеется несколько последовательностей, то возникает необходимость определить общую меру согласованности между ними. Такой мерой является коэффициент конкордации.

Пусть m — число последовательностей, п — количество рангов в каждой последовательности. Тогда коэффициент конкордации

(1.25)

где d — фактически встречающееся отклонение от среднего значения суммы рангов одного объекта.

Коэффициент корреляции рангов может быть использован для быстрого оценивания взаимосвязи между признаками, не имеющими нормального распределения, и полезен в тех случаях, когда признаки поддаются ранжированию, но не могут быть точно измерены.