Функция Лапласа

Найдём вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

,

которая называется функцией Лапласаили интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

На рис. 6 показан график функции Лапласа.

Рисунок 6

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

Ещё используется нормированнаяфункция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

На рис. 7 показан график нормированной функции Лапласа.

Рисунок 7

3.2. Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трёх сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трёх сигм.

Не практике считается, что если для какой-либо случайной величины выполняется правило трёх сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели законы распределения непрерывных величин В ходе подготовки к последующей лекции и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Задание на самостоятельную работу

Изучить:

· Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с. – стр. 84-103

· Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 96-116

· Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.- стр. 75-99.