Числовые характеристики, с помощью которых оценивается положение центра рассеивания случайной величины, носят название числовых характеристик положения.

Числовые характеристики, показывающие, насколько тесно сгруппированы возможные частные значения случайной величины около центра рассеивания, носят название числовых характеристик рассеивания.

Кроме указанных числовых характеристик для более полного описания случайной величины могут использоваться и ряд других числовых характеристик, предназначенных для уяснения характерных черт распределения случайной величины.

В теории вероятностей для характеристики случайной величины вводится понятие моментов. Однако, на настоящий момент изучения данной дисциплины мы ограничимся лишь понятием математического ожидания и дисперсии, а понятие «моментов» введём при изучении Темы 11 при рассмотрении системы нескольких случайных величин.

2. Числовые характеристики положения: математическое ожидание и его основные свойства

Математическое ожидание случайной величины является основной характеристикой, указывающей положение центра рассеивания случайной величины или иначе среднее ориентированное значение случайной величины, около которого группируются все возможные частные значения случайной величины.

Со средним значением случайной величины мы часто имеем дело в повседневной.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значения х₁, х₂…х_n, с соответствующими вероятностями p₁, p₂,…p_n. Требуется каким-то числом охарактеризовать среднее значение случайной величины при условии того, что все эти значения имеют различные вероятности.

Для решения этой задачи воспользуемся так называемым «средним взвешенным» из значений х_i, причём каждое значение х_i будем учитывать с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.

Учитывая, что мы имеем дело с полной группой несовместных событий (), получим:

Таким образом, мы получили «среднее взвешенное» значение случайной величины Х из значений х₁, х₂…х_n, с учётом «веса» пропорционального вероятности этих значений.

Это «среднее взвешенное» значение и является математическим ожиданием (средним значением) случайной величины Х (обозначается или ).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений.

Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание будет выражается уже не суммой, а интегралом вида:

,

Рассмотрим некоторые важные свойства математического ожидания случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины с равно самой постоянной:

М[с] = с

2. При прибавлении к случайной величине Х постоянной величины с к её математическому ожиданию прибавляется та же величина:

3. Постоянную величину с можно выносить за знак математического ожидания

М[сХ] = сМ[Х]

Математическое ожидание имеет размерность случайной величины и может быть целое, дробное, положительное и отрицательное.

Кроме математического ожидания в качестве характеристик положения используются также мода – М, и медиана – Ме случайной величины.

3. Числовые характеристики рассеивания: дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Основные свойства дисперсии

Для более полной характеристики случайной величины, кроме её какого то среднего положения, необходимо знать, насколько тесно группируются её возможные значения около центра рассеивания. Наиболее широкое распространение для описания рассеивания случайных величин в артиллерийской практике нашли следующие числовые характеристики: дисперсия, среднеквадратическое отклонение и срединное отклонение случайной величины.

Так как мы говорим о характеристиках, показывающих, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины относительно центра рассеивания, то при определении указанных характеристик должна быть использована разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: .

Эту разность, или отклонение случайной величины от её математического ожидания называют центрированным значением случайной величины Х (обозначается )

Определим математическое ожидание (среднее значение) центрированного значения случайной величины:

.

Таким образом, среднее значение отклонения случайной величины от её математического ожидания = Х – m_х не может служить характеристикой рассеивания случайной величины, так как это отклонение равно 0.

Рассмотрим возможность использования в качестве меры рассеивания случайной величины математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Таким образом, в качестве характеристики рассеивания случайной величины возможно использовать математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания М[(Х - m_х)²].

Квадрат этого отклонения называют дисперсией(в переводе «рассеивание») случайной величины Х (обозначается D[Х] или D_х).

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Для решения практических задач с целью сокращения вычислительных операций используется выражение, полученное в результате обоснования возможности применения математического ожидания квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания в качестве меры рассеивания:

где:		–	математическое ожидание квадрата случайной величины Х
		–	математическое ожидание случайной величины Х

Являясь математическим ожиданием квадрата отклонения от её математического ожидания случайной величины, дисперсия характеризует степень разброса или рассеивание случайной величины около её центра рассеивания. Меньшему значению дисперсии отвечает меньший разброс значений случайной величины относительно её математического ожидания и наоборот.

Рассмотрим некоторые важные свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины с равна 0

D[с] = 0

2. При прибавлении к случайной величине Х постоянной величины с её дисперсия не изменяется

3. Дисперсия произведения постоянной величины с на случайную величину равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины:

,

т.е. постоянную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя её в квадрат.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и может быть целой, дробной, но всегда положительной.

Размерность квадрата случайной величины приводит к некоторым неудобствам для характеристики случайной величины. Поэтому для большей наглядности целесообразно иметь такую характеристику рассеивания случайной величины, которая имела бы ту же размерность, что и сама случайная величина. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень, а полученную числовую характеристику называют среднеквадратическим отклонением (или «стандартом») случайной величины (обозначают s[X] или )

Среднеквадратическое отклонение обладает теми же свойствами, что и дисперсия, однако, вследствие того, что дисперсия есть математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины, то при умножении случайной величины Х на неслучайную величину с, её среднеквадратическое отклонение умножается на абсолютное значение этой случайной величины:

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели принципиальные вопросы теории вероятностей применительно к числовым характеристикам случайных величин, ввели основной понятийный аппарат, необходимый для дальнейшего изучения дисциплины: математическое ожидание и дисперсии случайной величины, а так же среднеквадратического отклонения.

В ходе подготовки к последующей лекции и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Кроме того, на последующих занятиях мы будем изучать теоремы и зависимости, позволяющие определить вероятность появления случайной величины требуемое число раз или на определенном интервале, например вероятность попадания в цель.

 

Задание на самостоятельную работу

Изучить:

· Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с. – стр. 84-103

· Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 96-116

· Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с. – стр.75-99.

Лекция 10 Непрерывные случайные величины: функция распределения случайной величины

 

Учебные и воспитательные цели:

1. Дать представление о методах определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью функции распределения.

Вид занятия:лекция.

Продолжительность занятия:90 минут.

Учебно-материальное обеспечение занятия:

Медиа-проектор, ноутбук, слайды Power Point (Оверхэд-проектор, слайды).

Литература:

а) основная:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.

Структура занятия и расчёт времени

Структура занятия	Время, мин
I. Вводная часть занятия
II. Основная часть занятия
Введение в лекцию	5-10
1. Функция распределения непрерывной случайной величины для определения вероятности попадания случайной величины на интервал
Заключение по лекции
III. Заключительная часть занятия