Позиционные и непозиционные системы счисления

Лекция 40. Системы счисления. Десятичная система счисления

План:

1. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

2. Запись числа в десятичной системе счисления.

3. Алгоритм сложения

При изучении материала данного параграфа мы выяснили, что десятичная запись натурального числа - это его представление в виде

х = an ·10n +a n-1 ·10n-1 +... +а1·10+а0= an a n-1…. а1 а0, где an a n-1…. а1 а0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и ап ± 0.

В таком виде можно записать любое натуральное число и эта запись единственная.

Десятичная запись натуральных чисел позволяет их сравнивать и выполнять, по определенным правилам (алгоритмам), над ними действия. Мы рассмотрели теоретические основы этих алгоритмов и сформулировали их в общем виде.

Натуральные числа можно записывать не только в деся­тичной системе счисления, но и вообще в позиционных систе­мах с основанием р ≥ 2.

При этом записью числа х считается его представление в виде

х = an ·pn +a n-1 ·pn-1 +... +а1·p+а0= an a n-1…. а1 а0, где an a n-1…. а1 а0 принимают значения 0,1,2,…, p-1 и an ± 0.

Действия над числами в позиционных системах счисления, отличных от десятичной, выполняются по правилам, анало­гичным принятым в десятичной системе счисления.

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возник­ала и необходимость в названии и записи чисел.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Называть числа и вести счет люди научились еще до появления Письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревянные палочки с зарубками, шнуры и веревки с узлами. Веревочные Счеты с узелками употреблялись в России и во многих странах Европы.

Способ «записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удобным, так как для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись, «о и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и действия над ними. Поэтому возникли иные, более экономичные записи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа цементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались группы 5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали люди племени майя. «Следы» такого счета сохранились в датском и некоторых других европейских языках. Иногда применялся счет пятками, а также группами по 12 элементов. В Древнем Вавилоне считали груп­пами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой сколько взято единиц. Древневавилонская система используется до сих пор при измерении времени и углов в минутах и секундах.


Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Эта система, принятая сейчас почти всюду, основана на группи­ровании десятками и берет свое начало от счета на пальцах. Десятичная система счисления возникла в Индии в VI в. Однако вид индийских цифр значительно отличается от современной их записи. В течение мно­гих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские циф­ры много раз изменялись, пока приняли современную форму.

Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему счисления арабы. Распространению же этого способа записи чисел и правил выполнения арифметических действий над числами способ­ствовала книга среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Об индий­ском счете», созданная им в начале IX в.

Европейцы познакомились с достижениями индо-арабской мате­матики в XI в. Расширение торговли повлекло за собой значительное усложнение счета, появилась потребность в совершенствовании мето­дов счета. Поэтому европейские математики обратились к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С деся­тичной системой счисления европейцы познакомились через перевод книги аль-Хорезми. В 1202 г. выходит «Книга абака» Л. Фибоначчи, где также вводятся индийские цифры и нуль. С XIII в. начинается внедрение десятичной системы, и к XVI в. она стала повсеместно ис­пользоваться в странах Западной Европы.

Распространению десятичной системы в России способствовала книга первого русского выдающегося педагога-математика Л.Ф.Маг­ницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», вышедшая в 1703 г. на славянском языке. Она являлась энциклопедией матема­тических знаний того времени. Все вычисления в ней проводятся при помощи цифр индийской нумерации. В «Арифметике» выделено особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счис­ление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется), если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащей, то увеличивает в десять раз, как будет показано в дальнейшем». Однозначные числа в книге Л.Ф.Магницкого называются «перстами»; числа, составленные из еди­ниц и нулей, - «суставами»; все остальные числа - «сочинениями». Таблица с названиями круглых чисел доведена Магницким до числа с 24 нулями. В «Арифметике» в стихотворной форме подчеркнуто: «Число есть бесконечно...»

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В по­зиционных системах один и тот же знак может обозначать различ­ные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятич­ная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чи­сел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В )той системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обо­значается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D , тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, ког­да знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед зна­ком большего узлового числа. Например, IV - четыре, ХС – девяносто. Запишем несколько чисел в римской нумерации.

193 - это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III); следовательно, число 193 записывается как СХСIII.

564 - это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (X) плюс че­тыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, 564 записывается как 1) DLХ1У.

2708 - это две тысячи (ММ) плюс пятьсот (D) плюс сто (С) плюс сто (С) плюс пять (V) плюс три (III). Следовательно, число 2708 за­писывается так: ММDССVIII.

Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака М. Вообще же чис­ла четырех-, пяти- и шестизначные записывались с помощью буквы m (от лат. слова mille - тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа - сотни, десятки, единицы. Так, запись СХХХШmDСССХLII является записью числа 133842.

В России до XVII в. в основном употреблялась славянская нуме­рация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак - титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская или славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку позво-1или записывать большие числа. Однако выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому на смену им пришла десятичная система счисления.

Упражнения

1. Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XXI, ХLIV, LXII, LХХVШ, ХСV, СDХХШ, МСDVII, МСDХIХ, МDСССLХХI.

2. Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1941, 1997, 2000.

 

х = an ·10n +a n-1 ·10n-1 +... +а1·10+а0= an a n-1…. а1 а0, где an a n-1…. а1 а0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и ап ± 0.