Фильтры Чебышева.
Фильтры первого рода. Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода). Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:
|H(W)|2 = 1/ [1+dN2 TN2(W)], (10.4.1)
где ТN(W) - многочлен Чебышева N-го порядка:
Tn(W) = cos(n arccos(W)), W
1. (10.4.2)
= ch(n arcch(W)), W>1. n = 1,2,...
Критерий приближения Чебышева, который широко используется не только в теории фильтров - минимум максимальной ошибки приближения (минимаксное приближение). В соответствии с этим приближением параметры передаточной функции подбираются таким образом, чтобы в полосе передачи АЧХ наблюдались равноволновые пульсации коэффициента передачи, которые являются "платой" за повышение крутизны среза фильтра.
Полиномы Чебышева вычисляются по рекуррентной формуле:
Tn(W) = 2W Tn-1(W) - Tn-2(W), (10.4.3)
T1(W) = W, To(W) = 1.
Для ФНЧ при W = w/wp имеет место Тn(1) = 1, |H(W)|2 = 1/(1+d2) и значением d задается коэффициент пульсаций в полосе передачи. При задании полосы по уровню Аp значение d рассчитывается аналогично фильтру Баттеруорта.
Соответственно, при задании Аs на границе полосы подавления, имеем:
1/(1+d2 TN2(ws/wp)) = As2. (10.4.4)
N = arcch[
/d] / arcch(ws/wp). (10.4.5)
Дальнейшие расчеты идентичны расчетам фильтров Баттеруорта, равно как и частотные преобразования фильтров ФНЧ в ФВЧ и ПФ.
Фильтры второго рода. Для фильтров Чебышева второго рода, с гладкой передаточной характеристикой в зоне пропускания и равноволновыми пульсациями в зоне подавления, используется функция:
|H(W)|2 = 1/[1+d2(TN2(Ws)/TN2(Ws/W))], (10.4.6)
где W = w/wp, Ws = ws/wp. Условие задания параметра d остается без изменений. На границе полосы подавления при w = ws: 1+d2TN2(ws/wp) = 1/As2, откуда значение N также определяется аналогично фильтру первого рода. Дальнейший порядок расчетов фильтров Чебышева второго рода не отличается от фильтров первого рода.