Явление Гиббса.

Введение

Лекция 6. ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ.

Большинство методов анализа и обработки данных имеют в своем составе операцию свертки множества данных s(k) с функцией оператора свертки h(n). Как множество данных s(k), так и оператор h(n), выполняющий определенную задачу обработки данных и реализующий определенную частотную передаточную функцию системы (фильтра), могут быть бесконечно большими. Практика цифровой обработки имеет дело только с ограниченными множествами и данных, и коэффициентов оператора. В общем случае, эти ограниченные множества "вырезаются" из бесконечных множеств s(k) и h(n), что равносильно умножению этих множеств на прямоугольную функцию с единичным амплитудным значением, которую называют естественным временным окном или естественной весовой функцией. Учитывая, что произведение функций отображается в спектральной области сверткой их фурье-образов, это может весьма существенно сказаться как на спектральных характеристиках функций, так и на результатах их последующих преобразований и обработки. Основное назначение рассматриваемых в данной теме весовых функций – сведение к минимуму нежелательных эффектов усечения функций.

Чаще всего с изменением частотных характеристик функций приходится сталкиваться при усечении операторов фильтров. На примере усечения операторов и рассмотрим характер происходящих изменений.

При расчетах фильтров, как правило, задается определенная передаточная характеристика H(w) фильтра, и по ней производится расчет оператора фильтра h(n), количество членов которого может оказаться очень большим, в пределе - бесконечным. Усечение может рассматриваться, как результат умножения функции оператора фильтра на селектирующее весовое окно длиной 2N+1. В простейшем случае это окно представляет собой П-образную селектирующую функцию:

h_n = h(n) П_N(n), П_N(n) = 1 при |n| £ N, П_N(n) = 0 при |n| > N.

Функция h(n) оператора фильтра обуславливает определенную частотную передаточную характеристику фильтра H(w). Полному оператору h(n) соответствует исходная частотная характеристика H(w):

H(w) =h(n) exp(-jwn). (3.1.1)

Сущность явления Гиббса. Усеченной функции h_n во временном окне селекции П_N(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция, которая в определенной степени должна отличаться от функции H(w). Очевидно, что при усечении ряда Фурье (3.1.1), до конечного числа членов ±N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:

H_N(w) =h(n) exp(-jwn), (3.1.2)

при этом сходимость суммы остающихся членов ряда H_N(w) к исходной передаточной функции H(w) ухудшается, и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначально заданной в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) в передаточных функциях:

- крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (3.1.2);

- по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, близкой к частоте первого отброшенного члена ряда (3.1.1).

Эти эффекты (см. рис. 3.1.2) при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса.

Рассмотрим явление Гиббса более подробно на примере разложения в ряд Фурье частотной функции единичного скачка G(w), которая является Фурье-образом какой-то дискретной временной функции b_n. Уравнение функции единичного скачка:

G(w) = - 0.5, -p £ w < 0, G(w) = 0.5, 0 £ w £ p, (3.1.3)

Функция (3.1.3) имеет разрыв величиной 1 в точке w = 0, и в точках p, 2p, … , в силу дискретности временной функции и периодичности ее спектра. Поскольку функция G(w) является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда определяются выражением:

b_n = G(w) sin nw dw = sin nw dw.

b_n = 2/(n·p), n- нечетное,

b_n = 0, n- четное.

Рис. 3.1.1. Значения коэффициентов b_n.

Как видно на рис. 3.1.1, ряд коэффициентов b_n затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции G(w):

G(w) = (2/p)[sin w + (1/3)·sin 3w + (1/5)·sin 5w +....].

G(w) = sin[(2n+1)w]/(2n+1). (3.1.4)

Рис. 3.1.2. Явление Гиббса.

Если мы будем ограничивать количество коэффициентов b_n, т.е. ограничивать значение N ряда Фурье функции G(w), то суммирование в (3.1.4) будет осуществляться не до ∞, а до значения N. Графики частичных сумм ряда (3.1.4) в сопоставлении с исходной функцией приведены на рис. 3.1.2. Они наглядно показывают сущность явления Гиббса.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее выразительно.

Параметры эффекта. Ряд (3.1.4) при усечении можно записать в следующем виде:

G_N(w) = [cos((2n+1)w) dw] = [cos((2n+1)w)] dw.

Сумма косинусного ряда равна sin[2(N+1)w]/(2sin w). Отсюда:

G_N(w) = . (3.1.5)

Для определения местоположения максимумов и минимумов осцилляций функции (3.1.5) приравняем к нулю ее первую производную (подинтегральную функцию), при этом:

w_k = ±kp/(2(N+1)), k = 1, 2, ...

Соответственно, амплитудные значения первых (максимальных) осцилляций функции приходится на точки w₁ = ±p/(2(N+1)), вторых (противоположных по полярности) - на точки w₂ = ±p/(N+1). Период пульсаций равен 2w₁ = p/(N+1) = Dw, т.е. интервалу дискретизации спектра при равном количестве отсчетов оператора фильтра и его спектра. Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции G(w) на произвольной частоте главного частотного диапазона значения w_k являются значениями Dw_k относительно частоты скачка. Амплитудные значения функции в точках w₁ и w₂ (при подстановках w₁ и w₂ верхним пределом в (3.1.5)) практически не зависят от количества членов ряда N и равны:

G_N(w₁) » 0.5+0.09, G_N(w₂) » 0.5-0.05.

Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает.

Таким образом, для усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9% и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна p/(N+1), а по уровню исходных значений функции на скачке (в данном случае от -0.5 до 0.5) порядка (2/3)p/(N+1). Это явление типично для всех функций с разрывом.

Можно рассмотреть это явление и с других позиций. Как известно, произведение функций отображается в частотном представлении сверткой их фурье-образов. Отсюда:

h_n = h(n) П_N(n) ó H(w) ③ П_N(w) = H_N(w). (3.1.6)

Рис. 3.1.3. Свертывающие (частотные) весовые функции.

Правая часть выражения (3.1.6) и отражает математическую сущность явления Гиббса. Ограничение массива функции определенным количеством членов (умножением на П-окно, прямоугольную селектирующую функцию) отображается сверткой частотной характеристики функции с частотной характеристикой селектирующей функции (которую часто называют свертывающей функцией). Частотная характеристика прямоугольной функции хорошо известна, как функция отсчетов sin(x)/x, x = w(2N+1)/2, и для П-импульса длиной 2N+1 приведена на рис. 3.1.3 (для ряда значений N). Свертка этой частотной функции (Фурье-образа селектирующей функции) с частотной характеристикой усекаемых функций и порождает явление Гиббса на резких скачках частотных характеристик. Чем больше N, тем уже центральный пик спектра прямоугольного импульса, и, соответственно, меньше ширина переходной зоны, которая формируется вместо скачков функций. Амплитуда самих осцилляций (по номеру от центрального пика) имеет постоянное значение и не зависит от N.

Последствия для практики. При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, т.к. приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В качестве примера рассмотрим явление Гиббса применительно к фильтру низких частот.

Попытаемся реализовать передаточную функцию фильтра следующего вида:

H(f) = 1, при -0.2 £ f £ 0.2, H(f) = 0, при -0.2 > f > 0.2,

в главном частотном диапазоне от -0.5 до 0.5. Функция четная, коэффициенты ряда Фурье представлены только косинусными членами:

a_n = 4cos(2pfn) df = 2 sin(0.4pn)/(pn).

Передаточная функция:

H(f) = 0.4 + 2sin(0.4pn) cos(2pfn)/(pn). (3.1.7)

Результат усечения ряда Фурье (3.1.7) до N = 7 приведен на рис. 3.1.4.

Рис. 3.1.4. Передаточные функции ФНЧ.

Как видно на рисунке, явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра. Однако при реализации фильтров ограничение длины операторов фильтров является правилом их конструирования исходя из чисто практических соображений реализации.

Явление Гиббса имеет место при усечении любых числовых массивов. При обработке геофизических данных операция усечения числовых массивов, как одномерных, так и многомерных, относится к числу типовых. Вырезаются из профилей и площадей участки съемки с аномальными данными для их более детальной обработки и интерпретации. При анализе усекаются корреляционные функции, и соответственно свертываются с частотным образом весового окна вычисляемые спектры мощности, и пр. Во всех этих случаях мы можем столкнуться как с явлением Гиббса, так и с другими последствиями свертки функций в частотной области, в частности с цикличностью свертки, с определенным сглаживанием спектров усекаемых данных, которое может быть и нежелательным (снижение разрешающей способности), и полезным (повышение устойчивости спектров). В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, т.к. они проявляется в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.

На рис. 3.1.5 показан другой пример искажений сигнала при усечении. Исходный аналоговый сигнал был вырезан из массива данных на интервале k = {0..60}, дискретизирован и переведен в цифровой форме в спектральную область для обработки. Дискретизация сигнала вызвала периодизацию его спектра, а дискретизация спектра вызвала периодизацию его динамического представления. Но на точках k=0 и k=60 в периодическом повторении исходного сигнала при усечении образовался скачок функции с бесконечным частотным спектром, а главный диапазон спектра дискретизированного сигнала ограничен интервалом его дискретизации (w_N=p/Dt). Следовательно, спектр сигнала является искаженным за счет наложения спектров боковых периодов, а при восстановлении аналогового сигнала по спектру главного диапазона он восстанавливается из усеченного спектра. Это приводит к появлению явления Гиббса на обоих концах вырезанного сигнала (за счет периодизации сигнала), что наглядно видно на рис. 3.1.5.

Рис. 3.1.5.

Практически это означает, что при частотной обработке вырезанного сигнала будет обрабатываться не спектр исходного сигнала, а спектр, которому соответствует сигнал, восстанавливаемый по данному спектру с наложенным явлением Гиббса.