Пример.

Импульсный отклик фильтра задан параметрами: N=7, h(0)=h(6), h(1)=h(5), h(2)=h(4), h(3).

Передаточная функция фильтра: H(z) =h(k) z^k. Подставляем z=exp(-jwDt) при Dt = 1 и получаем частотную характеристику фильтра в главном диапазоне (-p, p):

H(w) = h(0)+h(1)exp(-jw)+h(2)exp(-2jw)+ h(3)exp(-3jw)+h(4)exp(-4jw)+ h(5)exp(-5jw)+h(6)exp(-6jw) =

= exp(-3jw) {h(0)[exp(3jw)+exp(-3jw)] + h(1)[exp(2jw)+exp(-2jw)] + h(2)[exp(jw)+exp(-jw)] + h(3)} =

= exp(-3jw) {2h(0) cos(3jw) + 2h(1) cos(2jw) + 2h(2) cos(jw) + h(3)}.

Изменяя обозначения и переходя к индексации относительно центра симметрии a(0) = h(3), a(n) = 2h(3-n), n=1, 2, 3, записываем в компактной форме:

H(w) =a(n) cos(njw) exp(-3jw) = |H(w)| exp(jj(w)), j(w) = -3w, a=3º(N-1)/2.

Частотная характеристика фильтра линейна.

Условие (2.4.11) обеспечивает постоянную групповую задержку и выполняется при отрицательной симметрии импульсной характеристики фильтра:

h(n) = -h(N-n-1),

a = (N-1)/2, b = p/2.

Для того чтобы убедиться в последнем, достаточно рассмотреть пример, аналогичный вышеприведенному.

Корреляция входа и выхода фильтров может быть получена на основе следующих простых соображений.

Примем для входного сигнала x(t)«X(f) и выходного сигнала y(t)«Y(f) за основу выражение преобразования в частотной области

Y(f) = H(f) X(f). (2.4.12)

Умножим обе части этого выражения на комплексно сопряженную функцию X*(t) и найдем математические ожидания левой и правой части:

M{X*(f) Y(f)} = M{X*(f) H(f) X(f)} = H(f) M{X*(f) X(f)}.

Но математические ожидания этих произведений спектров представляют собой спектры плотности мощности, и, при обратном преобразовании Фурье, зависимость взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов фильтра от корреляционной функции входного сигнала и функции импульсного отклика фильтра:

W_xy = H(f) W_x « h(t) ③ B_x(t) = B_xy(t).

Это выражение в спектральной области может использоваться для практического определения частотных передаточных функций фильтров с неизвестной формой импульсных откликов.

Если математические ожидания взять от квадратов модулей левой и правой части исходного выражения (2.4.12), то в результате получим выражения:

W_y(f) = |H(f)|² W_x(f) « B_h(t) ③ B_x(t).

Области применения НЦФ и РЦФ обычно обуславливаются видом их передаточных функций.

В принципе, нерекурсивные цифровые фильтры универсальны и способны реализовать любые практические задачи обработки сигналов. Это и понятно, т.к. реакция РЦФ на единичный импульс Кронекера представляет собой импульсный отклик НЦФ, а, следовательно, задачи, решаемые РЦФ, могут выполняться и НЦФ, но при условии отсутствия ограничений по размерам окна. В первую очередь это касается реализации БИХ-фильтров с незатухающим или слабо затухающим импульсным откликом, например, интегрирующих или фильтров рекурсивной деконволюции. Ограничение по размерам окна является скорее не теоретическим (бесконечных операторов НЦФ не требуется, максимум – двойная длина входного сигнала для двусторонних НЦФ), а чисто практическим. Нет смысла применять НЦФ с огромными размерами операторов и тратить машинное время, если та же задача во много раз быстрее решается рекурсивным фильтром.

Существенным преимуществом НЦФ является их устойчивость, возможность выполнения в виде двусторонних симметричных фильтров, не изменяющих фазу выходных сигналов относительно входных, и реализации строго линейных фазовых характеристик.

С другой стороны, нерекурсивные фильтры могут быть преобразованы в рекурсивные фильтры, если есть возможность z-полином передаточной функции НЦФ выразить в виде отношения двух коротких z-полиномов РЦФ типа (2.3.2), что может дать существенное повышение производительности вычислений. Как правило, такая возможность имеется для сходящихся степенных рядов. Отношение двух z-полиномов позволяет реализовать короткие и очень эффективные фильтры с крутыми срезами на частотных характеристиках.