Интегрирование простейших дробей.

Дробно-рациональная функция

Интегрирование рациональных дробей.

Функция вида

где - натуральное число - некоторые числа, называется многочленом - й степени.

Теорема 42.(теорема Безу). Если - корень многочлена , то где - многочлен степени . В этом случае многочлен делится на без остатка. (Без доказательства).

Теорема 43. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т.е.

где

Пример 88.

Если корни многочлена

, то из теоремы Безу следует разложение

Дробно - рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов
где - многочлен степени , - многочлен в степени .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. . В противном случае она называется неправильной.

Всякую неправильную дробь
путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби

Пример 89.Представить рациональную дробь

в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Разделим (уголком) числитель дроби на знаменатель и выделим целую часть, которая и будет искомым многочленом

Таким образом

Правильные рациональные дроби вида

где действительные числа, называются простейшими рациональными дробями.

Теорема 44. Всякую правильную рациональную дробь
знаменатель которой разлагается на множители

можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей вида

Пример 90. Представить разложение правильной рациональной дроби

в виде суммы простейших дробей.

Решение. В соответствии с теоремой 44 имеем

Числа можно подобрать методом неопределенных коэффициентов, либо давая различные значения переменной .

Пример 91. Разложить правильную рациональную дробь

в виде суммы простейших дробей.

Решение. В соответствии с теоремой 44 имеем

Найдем коэффициенты . Для этого приведем правую часть к общему знаменателю

Сравнивая левые и правые числители равных дробей, получим

.

Раскроем в правой части скобки

или

Приравнивая коэффициенты слева и справа при равных степенях , получим систему уравнений

Решая эту систему, например, с помощью подстановок (методом Гаусса), получим . В результате получаем разложение

Так как в итоге любая рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей, рассмотрим методы их интегрирования.