Метод золотого сечения

Пусть f(x) задана и кусочно-непрерывна на [x_L, x_R], и имеет на этом отрезке только один локальный минимум. Золотое сечение, о котором упоминал ещё Евклид, состоит в разбиении интервала [x_L, x_R] точкой x₁ на две части таким образом, что отношение длины всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей:

. (2)

Таким образом, возьмем на отрезке две точки x₁ и x₂, симметрично относительно границ делящие исходный отрезок в отношении золотого сечения:

,

,

где коэффициент .

Если f(x₁) < f(x₂), мы должны сузить отрезок справа, т.е. новое значение x_R = x₂, в противном случае x_L = x₁. Оставшаяся внутри нового отрезка точка является первым приближением к минимуму и делит этот отрезок в отношении золотого сечения. Таким образом, на каждой итерации приближения к минимуму (см. рисунок) нам нужно ставить только одну точку (x₁ или x₂), в которой считать значение функции и сравнивать его с предыдущим. Условием выхода из итерационного процесса будет, подобно предыдущему случаю, условие |x₂ – x₁| ≤ ξ.

Метод отличается высокой скоростью сходимости, обычно изысканной компактностью программной реализации и всегда находит точку, минимальную на заданном интервале.