Лекция 4. Двойные и тройные интегралы, их определения, свойства и вычисление путем сведения к повторным интегралам. Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел
Сначала сделаем небольшое замечание об областях интегрируемости. В дальнейшем будут рассматриваться интегралы вида
двойной интеграл,
тройной интеграл,
где подынтегральная функция, область интегрирования. Мы всегда будем предполагать, что замкнутая ограниченная область (компакт) с непрерывной либо с кусочно непрерывной границей При этом будем считать, что границу можно разбить на конечное число кусков таких, что каждый из них можно описать одним из уравнений
(в случае )
(в случае ),
причем все участвующие здесь функции являются непрерывными на соответствующих множествах (заметим, что в случае множества являются компактами в ). Для указанного типа областей можно определить меру В случае плоской области площадь области (квадрируемая область), в случае трехмерной областиобъём тела (кубируемая область). Отрезок максимальной длины , соединяющий две произвольные точки границы , называется диаметром области (обозначение: ).