Введение в дискретный анализ

Человек воспринимает информацию с помощью органов чувств. Процесс поступления сигналов с помощью этих чувств происходит непрерывно. Непрерывная величина может принимать любые значения в некотором диапазоне, которые могут быть сколько угодно близки, но все таки отличаться. Количество таких значений бесконечно велико. Дискретные величины принимают не все возможные, а только определенные значения, и их можно пересчитать.

В конце XVII века бурно развивающееся машинное производство постепенно стало превращать науку в производительную силу. С данного момента времени человечество встало на путь научно-технического прогресса (НТП). В XIX веке наука решает не только задачи, выдвигаемые производством, но и сама ставит проблемы, получающие в дальнейшем свое технико-производственное разрешение.

С середины XX века НТП вышел на уровень научно-технической революции (НТР). Революционные изменения охватили все разделы науки, техники и производства. НТР порождена поисками новых путей разрешения противоречий в различных областях, в наибольшей степени в развитии производительных сил.

В 1641-42 году Блез Паскаль сконструировал механический вычислитель, который позволил складывать и вычитать числа. В 1673 году немецкий ученый Готфрид Лейбниц построил первую счетную машину, способную выполнять все четыре действия арифметики. А в 1946 году в США уже была создана первая ЭВМ "Эниак". В группу создателей входил выдающийся ученый Джон фон Нейман, который и предложил основные принципы построения ЭВМ: переход к двоичной системе счисления для представления информации и принцип хранимой программы.

Требовались новые подходы и методы решения задач, а так же необходимо было переосмыслить уже существующие алгоритмы и адаптировать их к новым принципам реализации поставленных задач.

Все это положило начало бурного развития дискретной математики в ХХ веке. За рубежом часто дискретную математику называют компьютерной математикой.

Дискретная математика — область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. В качестве синонима иногда употребляется термин «дискретный анализ».

Изначально дискретная математика рассматривалась как теоретические основы компьютерной математики. Затем модели и методы дискретной математики начали использоваться как средства для построения и анализа моделей в различных науках, таких как биология, экономика, экология и так далее.

Решение управленческих проблем на сегодняшний день является основной задачей, будь то управление производством, принятие управленческих решений или же управление персоналом. В первом случае система состоит из набора микроконтроллеров, датчиков и рабочих органов. Управление осуществляется построением либо автоматизированной системой управления (АСУ) либо автоматизированной системой регулирования (АСР) в зависимости от сложности контура управления. Здесь инженер задает законы работы системы в зависимости от требуемых показателей и учитывает возмущающие воздействия. В общем случае инженер знает все потенциальные воздействия на систему и может спрогнозировать реакцию системы на то или иное возмущение или же положительное воздействие. Управление персоналом является сложнейшей задачей, так как данная система состоит из людей. Каждый человек индивидуален, а так же может принимать различные решения в одних и тех же ситуациях в зависимости от личного состояния на данный момент.

Основная литература по дискретной математике ориентирована либо на специалистов в области математики либо же на инженеров технического профиля (программисты, автоматизация производства и так далее). В данных учебниках курс изложен на основе того, что читатель подготовлен к изучению дискретной математики, то есть имеет сильную математическую подготовку. Поэтому в громоздких математических выкладках без примеров, сопоставленных реальным объектам сферы деятельности менеджмента, зачастую менеджером теряется суть вопроса, что приводит к недостаточному усваиванию дисциплины специальностями гуманитарного направления.

Учебное пособие разработано для студентов специальности менеджмент с устранением вышеуказанных недостатков. В нем рассмотрены средства конструктивного анализа и моделирования в управлении. Изложены методы формализованного представления реальных управленческих ситуаций и процессов. Методы дискретной математики используются для описания и анализа многих проблемных ситуаций, таких которые не поддаются описанию традиционными средствами классической математики.

Дискретная математика предлагает менеджеру, владеющему дискретной информацией: универсальные средства (языки) формализованного представления; способы корректной переработки информации, представленной на этих языках; возможность и условия перехода с одного языка описания явлений на другой, сохраняя при этом содержательную целостность модели.

В XXI веке менеджер не владеющий компьютерной техникой является не жизнеспособным звеном информационного общества. На сегодняшний день персональный компьютер (ПК) предоставляет менеджеру средства для редактирования (текста, звука, видео и так далее), системы документационного обеспечения, системы поддержки принятия решений, маркетинговые исследования, информационные системы по разработке бизнес планов и так далее. Для быстрого освоения вышеуказанных возможностей, предоставляемых ПК, а так же для постановки проблемы на языке понятном машине (имеется ввиду не язык на котором написан программный продукт, а средства ввода информации в программу), менеджеру необходимо иметь представление о принципах работы программного продукта, которые основаны на методах дискретной математики.

Книга дискретная математика для менеджеров разработана, учитывая специфику гуманитарного образования, и может быть использована не только для подготовки менеджеров, но и для других гуманитарных специальностей.

Цель курса.Освоение обучаемым фундаментальных знаний в области дискретного анализа и выработка практических навыков применения этих знаний, а так же заложить понимание формальных основ дисциплины и выработать у студентов достаточный уровень интуиции, необходимый для формализации и решения дискретных задач в области менеджмента.

Задачи курса:

· изложение основных положений и методов дискретного анализа;

· сформировать представление о постановке задач в области дискретной математики;

· изучение основ таких разделов дискретной математики, как теория графов, алгебры логики, алгебраических структур, комбинаторики, основ теории множеств, основ теории конечных автоматов.

Место курса в профессиональной подготовке выпускника.Дисциплина относится к циклу общепpофессиональных дисциплин (федеральный компонент), обеспечивающих общепpофессиональную подготовку. Изучение дисциплины «Дискретная математика» базируется на следующих дисциплинах: алгебра, математический анализ. Основные положения курса «Дискретная математика» должны быть использованы при изучении дисциплин: вычислительная математика, математика, инструментальные средства моделирования сложных систем.

Глава 1. Введение в теорию множеств

Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики

Наивная теория множеств. До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического. Все изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое». Свою программу Кантор назвал не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

Вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Аксиоматическая теория множеств. В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы.