Пересечение прямой и плоскости

Для определения точки пересечения (встречи) прямой с плоскостью общего положения применяется следующий алгоритм:

а) через заданную прямую ℓ (рис. 4.57) проводится вспомогательная плоскость Q (обычно плоскость частного положения);

б) строится линия пересечения MN заданной плоскости, например Р(ΔАВС) и вспомогательной Q (где Q₂ – фронтальный след);

в) в пересечении заданной прямой ℓ с линией пересечения MN отмечается искомая точка встречи К прямой с плоскостью Р.

Рис. 4.57.

На рис.4.58 показан комплексный чертеж с определением точки К пересечения прямой ℓ с плоскостью Р(Р₁,Р₂) общего положения по выше приведенному алгоритму (прямую ℓ заключали во фронтально проецирующую плоскость Q(Q₁,Q₂).

Рис. 4.58.

Еще проще определяется точка встречи если прямая общего положения пересекается с плоскостью частного положения, т.к. одна из проекций точки пересечения прямой с плоскостью всегда есть, она лежит на собирательном следе плоскости. На рис.4.59 показан комплексный чертеж с определением точки К пересечения прямой ℓ с плоскостью Р(Р₁,Р₂) фронтально проецирующего положения.

Рис. 4.59.

Видимость прямой относительно пересекаемой плоскости определяется методом конкурирующих точек.

4.8. Пример выполнения графической работы «Расстояние от точки до плоскости»

Даны координаты вершин треугольника АВС и вершины S. Требуется:

1) по координатам точек построить горизонтальную и фронтальную проекции вершины S и треугольника АВС;

2) в плоскости треугольника ABC провести горизонталь g, фронталь f, линию наибольшего ската w.

3) из вершины S опустить перпендикуляр l на плоскость треугольника АВС;

4) определить натуральную величину перпендикуляра SK(l).

5) определить уголнаклона плоскости треугольника АВС к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Эти задачи решаются на двух комплексных чертежах на одном листе формата АЗ.

Исходные данные

Числовые данные варианта взять из приложения 11.2. Номер варианта выдается преподавателем.

Оформление данной графической работы указано в прил. 11.1

1) Выполнение построений на чертеже начинают с проработки соответствующей темы данного учебного пособия и лекционного материала.

2) В левой половине листа намечаются оси координат, по числовым значениям X и Z , X и Y координат точек вершин треугольника ABC строится его фронтальная А₂В₂С₂ и горизонтальная A₁B₁C₁ проекции. Одноименные проекции вершин соединяются прямыми линиями. Также строится фронтальная и горизонтальная проекции точки S. Затем из точки S опускается перпендикуляр на плоскость Р, заданную треугольником ABC и определяется его натуральная величина.

Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум прямым лежащим в этой плоскости.

Поэтому в плоскости треугольника АВС проводится горизонталь А2 (g) и фронталь В1 (f) (п. 4.5). Из точки S₁ опускается перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали g₁(А₁2₁), а из точки S₂ – перпендикуляр на фронтальную проекцию фронтали f₂(В₂1₂). Построенная прямая SK является перпендикуляром, опущенным из точки S на плоскость АВС (рис. 4.60).

Точка встречи перпендикуляра l с плоскостью АВС находится с помощью горизонтально проецирующей плоскости Q, проведенной через l. Горизонтальный след Q₁ этой плоскости совпадает с горизонтальной проекцией l₁ перпендикуляра l, а фронтальный след Q₂ (не показан) перпендикулярен оси ОХ. Найдя линию МN пересечения плоскостей треугольника АВС и Q получают в пересечении прямых l и MN точку К встречи перпендикуляра l с плоскостью треугольника АВС. Отрезок SК, проекции S₁К₁ и S₂К₂ которого найдены, есть проекции расстояния от точки S до плоскости АВС.

Натуральная величина отрезка SК в данном примере определяется методом вращения. Горизонтальную проекцию S₁К₁ вращают вокруг оси, которая перпендикулярна П₁ и проходит через точку S, до положения, параллельного оси X. Тогда новая фронтальная проекция S₂К₂' становится равной натуральной величине искомого расстояния от точки S до плоскости АВС (п. 3.4.).

3) В правой половине листа намечаются оси координат и по числовым значениям строится горизонтальная и фронтальная проекции треугольника АВС. Проводится в плоскости треугольника горизонталь g(g₁,g₂), а затем строит линия наибольшего ската w, которая всегда перпендикулярна горизонтали g. На основании свойства проецирования без искажения прямого угла w₁ проводится перпендикулярно g₁. Фронтальная проекция w₂ получается по построению. Ограничив с двух концов линию наибольшего ската w точками, определяют натуральную величину этого участка. Находят угол наклона полученного отрезка к П₁. Полученное значение будет являться величиной угла наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций.

В данном примере (рис. 4.60) натуральная величина определена методом прямоугольного треугольника на горизонтальной плоскости проекций. Но задачу можно выполнить путем нахождения натуральной величины методом вращения, но только в том случае, если она будет найдена на фронтальной плоскости проекций.

Как полученные, так и исходные данные следует отобразить в виде таблиц произвольного размера, расположенных в свободном поле чертежа.

Рис. 4.60. Пример выполнения графической работы «Расстояние от точки до плоскости».