ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Определение. Пусть дана последовательность

функций переменной , определенных в области .

Тогда выражение вида

называется функциональным рядом и обозначается

.

Определение. Функциональный ряд вида

(4)

называется степенным рядом с центром в точке . При этом действительные числа называются коэффициентами степенного ряда (4).

Область определения степенного ряда .

Рассмотрим частичные суммы ряда

,

которые являются функциями переменной .

При каждом фиксированном ряд (4) является числовым, для которого определено понятие сумма ряда.

Определение. Ряд (4) сходится в точке , если существует в точке конечный предел частичных сумм

.

Определение. Множество всех точек , в которых ряд (4) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Замечание 1. Область сходимости ряда является областью определения функции .

Замечание 2. Всякий степенной ряд сходится при .

Рассмотрим ряд с центром .

(5).

Замечание3. Ряд (4) сводится к ряду (5) с помощью замены .

Теорема (Абеля).

1) Если степенной ряд (5) сходится при некотором , то он абсолютно сходится при всяком , для которого .

2) Если степенной ряд (5) расходится при некотором , то он расходится при всяком , для которого .

Доказательство.

1) Ряд сходится. По необходимому признаку

.

Следовательно, последовательность ограничена, т.е. .

Ряд (5) представим в следующем виде:

.

Рассмотрим соответствующий абсолютный ряд:

Применим первый признак сравнения.

Ряд - сумма геометрической прогрессии со знаменателем .сходится.

По первому признаку сравнения абсолютный ряд для ряда (5) сходится ряд (5) сходится абсолютно.

2) Пусть при ряд (5) расходится.

Если бы ряд (5) сходился при каком-либо , то он должен был бы по уже доказанному сходиться при всех , т.е. и при , что противоречит условию.

Теорема доказана.

Следствие. Существует такое число , называемое радиусом сходимости, что ряд (5) сходится при и расходится при .

Замечание 4. На концах интервала в точках и ряд может

а) сходиться абсолютно,

б) сходиться условно,

в) расходиться.

Вопрос о сходимости ряда в этих точках решается отдельно.

Как вычислять радиус сходимости?

Рассмотрим абсолютный ряд

(6)

По признаку Даламбера

где

Тогда ряд (5) сходится абсолютно, если ,

т.е. если , то

если , то .

Ряд (5) расходится, если ,

т.е. .

Следовательно, .

Теорема. Радиус сходимости степенного ряда (5) вычисляется по формуле

. (7)

Аналогично, применяя радикальный признак Коши, имеем следующую теорему.

Теорема. Радиус сходимости степенного ряда (5) вычисляется по формуле

. (8)

Определение. Область называется интервалом сходимости.

Для определения области сходимости исследуется сходимость в граничных точках и .

Граничные точки, в которых ряд сходится, присоединяются к интервалу сходимости.

Примеры.

1. Найти область сходимости ряда

Для этого ряда

По формуле (7)

.

Область сходимости: .

2. Найти область сходимости ряда

Для этого ряда

По формуле (7)

.

Область сходимости: .

3. Найти область сходимости ряда

Для этого ряда

По формуле (7)

Интервал сходимости:

Замечание5. Для определения интервала сходимости можно непосредственно применить признак Даламбера как в доказательстве теореме о радиусе сходимости:

.

Для выполнения условия сходимости нужно, чтобы

.

Следовательно, , , интервал сходимости .

Для определения области сходимости исследуем сходимость в граничных точках.

При имеем ряд

,

который сходится условно.

При имеем ряд

,

который расходится. так как расходится гармонический ряд.

Область сходимости: .

Для степенного ряда (4):

интервал сходимости определяется условием

, (9)

а радиус сходимости определяется по формуле (7) или по формуле (8) или непосредственно по признаку Даламбера (или Коши).

Примеры

4. Найти область сходимости ряда

Применяя признак Даламбера, имеем

.

Для выполнения условия сходимости нужно, чтобы

,

или

или

Следовательно, , интервал сходимости .

Для определения области сходимости исследуем сходимость в граничных точках.

При имеем ряд

.

Применим первый признак сравнения:

а ряд Дирихлесходится так как .

Следовательно, в точке ряд сходится абсолютно.

При имеем ряд

.

Так как абсолютный ряд

,

как доказано сходится, то и исследуемый ряд сходится.

Область сходимости: .