Оптимальный одношаговый алгоритм

Общий АОЭИ является сложным и не всегда его применение может быть оправдано. Исходя из соотношения (3.5), для расчета оцениваемого параметра можно сформулировать существенно простой алгоритм его оценивания. Пусть процесс описывается уравнением в дискретные моменты времени:

у(N) = _i(N)х_i(N), (3.7)

где у(N) – выходная переменная в N-м такте; х_i(N) – значение i-го входа в N-м такте; h_i(N) – неизвестные параметры исследуемого процесса; n – число входов.

Модель постановки эксперимента, в соответствии c главой 2, можно представить в следующем виде:

у*(N) = _i(N – 1)х_i(N),

где у*(N) – оценка выхода объекта, полученная по модели; k_i(N–1) оценка i-го параметра исследуемого процесса для (N – 1)-го такта.

В соответствии с общим выражением для регуляризованного решения, полученного в §2.3, при вычислении x_i(N) на этапе редукции может быть использована следующая итерационная формула:

x_i(N)=x_i(N–1)+[y(N)–_i(N)x_i(N–1)]k_i(N)/[g+_i²(N)], (i = 1, 2,..., n). (3.8)

Переменные, входящие в эту формулу, можно оценить на этапе идентификации, а результатами, полученными по этой формуле, можно пользоваться при идентификации импульсной переходной функции первичного преобразователя. В выражении (3.8), выбрав совершенно произвольно начальные оценки x_i(0), можно на каждом такте производить их уточнение. Величина, на которую исправляются коэффициенты модели, пропорциональна ошибке предсказания:

Dу(N) = у(N) – у*(N).

Алгоритм уточнения можно переписать в виде

x_i(N) = x_i(N – 1) + Dy(N)k_i(N)/[g +_i²(N)] (i = 1, 2,..., n)

или еще проще

x_i(N) = x_i(N – 1) + D(N)k_i(N) (i = 1, 2,..., n),

где D(N) – величина, общая для всех входов и вычисляемая однажды в каждом такте, а длина шага S_N = D(N)k_i(N).

В векторной форме формула (3.8) будет иметь вид

x(N) = x(N – 1) + [y(N) – k^T(N)x(N – 1)]k(N)/[g + k^T(N)k(N)] (3.9)

или

x(N)=x(N–1)+ [h^Т(N)x(N–1)–k^T(N)x(N–1)]k(N)/[g+k^T(N)k(N)], (3.10)

где h^T(N) – вектор истинных значений импульсной переходной функции датчика в N - м такте; k(N) – вектор оценок значений импульсной переходной функции датчика в N-м такте; x(N) – вектор входной переменной в N-м такте; у(N) – выходная переменная в N-м такте (скаляр); <т> – символ транспонирования.

Данные выражения можно написать еще проще:

x(N) = x(N – 1) + D(N)k(N), (3.11)

где скалярная переменная D(N) = , а q_x(N) = x – x(N) – вектор ошибки с составляющими,

q_x^T(N) =,

причем

q_xi(N) = x_i – x_i(N).

Для режима обучения, при котором ошибки определения параметров еще много больше вариации параметров, без потери общности можно принимать параметры процесса постоянными, не зависящими от N, а скалярный параметр алгоритма g, равным нулю. Подробнее влияние g исследовано [3].

Если производить уточнение оценок по формуле (3.11), то выражение для D(N + 1) можно получить из выражения (3.11), заменив вектор k(N) на вектор k(N + 1):

D(N + 1) = .

Выражая D(N + 1) через D(N), учитывая (3.11), получаем

D(N + 1) = .

Положив, что вектор k(N) равен вектору k(N + 1), имеем

D(N + 1) = D(N) = D(N). (3.12)

После s – кратного использования одних и тех же данных, производя такую операцию s раз и вычислив соответствующие оценки, получаем

x(N + s) = x(N – 1) + D(N) k(N).

При s ® ¥ формула упростится и примет вид

x(N + ¥) = x(N – 1) + k(N).

Используя повторные подстановки бесконечное число раз для любого g, получают тот же результат, что при оптимальном шаге, а при g≠0 выгодно производить уточнение оценок параметра объекта, даже если входные воздействия не изменяются.

С другой стороны, каждый коэффициент k_i(N – 1) уточняется пропорционально изменению переменной на его входе K_хxi(N). Аналогично, на этапе идентификации может быть использовано выражение

k_i(N)=k_i(N–1)+[K_yx(N)–_i(N–1)K_xx(N)]K_xxi(N)/[g+²_i(N)],

(i=1, 2,..., n),

векторная форма которого имеет вид

k(N) = k( –1)+[K_yx(N)–k^T(N–1)K_xx(N)]K_xx(N)/[g + K_xx^T(N)K_xx(N)] (3.13)

или

k(N)=k(N–1)+[h^Т(N)K_xx(N)–k^T(N)K_xx(N)]K_xx(N)/[g+K_xx^T(N)K_xx(N)], (3.14)

где h^T(N) – вектор истинных значений импульсной переходной функции датчика в N-м такте; k(N) – вектор оценок значений импульсной переходной функции датчика объекта в N-м такте; K_xx(N) – вектор корреляционных функций входной переменной в N-м такте; K_уx(N) – взаимная корреляционная функция входной и выходной переменной в N-м такте (скаляр); <т> – символ транспонирования.

Данное выражение можно привести к виду

k(N) = k(N – 1) + D(N)K_xx(N), (3.15)

где D(N) – скалярная переменная.

Проведенный анализ этапов редукции и идентификации привел к аналогичным типам алгоритмов, поэтому дальнейшее исследование алгоритмов можно осуществлять для одного типа алгоритма и распространить полученные результаты на другой тип. При этом следует отметить, что эти алгоритмы относятся к классу алгоритмов Язвинского в международной классификации [94].