Основні положення символічного методу

Раніше ми розглянули розрахунок електричних кіл синусоїдного струму методом векторних діаграм та методом еквівалентних опорів і провідностей. Ці методи є достатньо складними, особливо при розрахунку розгалужених та складних електричних кіл.

Тому широке практичне застосування одержав символічний метод розрахунку кіл синусоїдного струму. (Метод був введений американським вченим Штейнметчем, в Росії його став застосовувати академік Міткевич).

Для наочності розрахунок електричних кіл символічним методом супроводжується побудовою векторних діаграм.

Символічний метод оснований на застосуванні комплексних чисел.

З математики відомо, що комплексне число можна виразити точкою, або радіус-вектором на комплексній площині (рис. 3.24) і записати аналітично в трьох формах: алгебраїчній, тригонометричній та показниковій:

де A=– модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа;

cos+ j sin=e– Формула Ейлера.

01 – вісь дійсних чисел;

0j – вісь уявних чисел.

Для переходу від однієї форми комплексного числа до іншої використовуються такі формули:

При додаванні або відніманні краще використовувати алгебраїчну форму запису, а при множенні та діленні – показникову форму.

Наприклад: _.

; .

Два комплексних числа називаються спряженими, якщо їх модулі рівні, а аргументи рівні, але протилежні за знаком (рис. 3.25)

;

Добуток комплексно-спряжених чисел дорівнює дійсному числу:

Таким чином, комплексне число можна подати радіус-вектором і навпаки, – радіус-вектор може бути поданий комплексним числом.

Зобразимо вектор струму І_m на комплексній площині під кутом α= ψ_і (рис. 3.26):

Як радіус-вектор його можна записати в комплексній формі:

Примусимо вектор І_m обертатися з частотою ω. Тоді через час t він займе положення α=ωt+ψ_і. Вектор, що обертається, в комплексній формі записується у вигляді:

=І_me^j(ωt+ψ^і)=I_me^j^ψ^іe^j^ωt=e^j^ωt,

де – комплексний миттєвий струм,

.– комплексна амплітуда струму,

– оператор обертання.

Запишемо комплексний миттєвий струм в тригонометричній формі:

=I_mcos(ωt+ψ_і)+jI_msin(ωt+ψ_і).

Бачимо, що синусоїдну функцію можна подати у вигляді уявної частини комплексного числа, тобто проекції радіус-вектора на вісь уявних чисел. Умовно це записується так:

i=I_msin(ωt+ψ_і)=J_m(e^j^ωt).

Символ J_m (уявний) означає, що при переході від комплексного числа до синусоїдної функції, необхідно брати лише уявну частину. Можна записати іншим чином: