Оценка соответствия результатов измерения нормальному закону по величине асимметрии и эксцесса

Для кривой нормального распределения характерно симметричное расположение отдельных значений относительно среднего, что можно проверить по величине асимметрии, которая является мерой косости.

(24)

где К - асимметрия;

S - среднее квадратическое отклонение;

Х_i – текущее значение результатов испытаний;

- среднее значение;

n - число испытаний.

К=0 свидетельствует о симметричности кривой распределения. Чем больше К, тем асимметричнее кривая (рис. 27).

Рис. 27. Асимметрия

В программе Excel асимметрия вычисляется с помощью функции СКОС (рис. 28). Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений.

Рис. 28 Функция СКОС

Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений.

СКОС(число1;число2; ...)

Число1, число2 ...— от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется асимметрия. Можно использовать один массив или одну ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, эти значения игнорируются; ячейки, содержащие нулевые значения, учитываются. Если имеется менее трех точек данных, или стандартное отклонение равно нулю, то функция СКОС возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.

Уравнение для асимметрии в программе Excel определяется следующим образом:

(25)

где S — стандартное отклонение выборки.

Эксцесс ( Е ) - позволяет судить о сплющенности (крутости ) кривой распределения по сравнению с кривой нормального распределения (рис. 29).

(26)

Рис. 29. Эксцесс

В программе Excel эксцесс вычисляется с помощью функции ЭКСЦЕСС(число1;число2; ...), которая возвращает эксцесс множества данных. Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением (рис. 30). Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение.

Рис. 30. Функция ЭКСЦЕСС

ЭКСЦЕСС(число1;число2; ...)

Число1, число2,...— от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется мода. (Возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных.) Можно использовать один массив или одну ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Аргументы должны быть либо числами, либо именами, массивами или ссылками, содержащими числа.

Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, эти значения игнорируются; ячейки, содержащие нулевые значения, учитываются.

Если задано менее четырех точек данных или если стандартное отклонение выборки равняется нулю, то функция ЭКСЦЕСС возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.

В программе Excel эксцесс определяется следующим образом:

(27)

При приближенной оценке соответствия эмпирического распределения нормальному необходимо сравнить значения К и Е с их средними квадратическими отклонениями S_k и S_Е

, (28)

(29)

Если и , то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному закону отвергается.