Примеры разложения функции в ряды Фурье

Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая с периодом 2p функция такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-p,p), то есть является суммой этого ряда:

(11.4)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (11.4). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, то есть сходится положительный числовой ряд

(11.5)

Тогда ряд (11.4) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от -p,p:

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

,

,

.

Следовательно,

,

откуда

. (11.6)

Для разыскания коэффициента при каком-либо определенном значении k¹0 умножим обе части равенства (11.4) на :

(11.7)

Ряд, получившийся в правой части равенства, мажорируем, так как его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (11.5). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Проинтегрируем равенство (11.7) в пределах от -p до p:

Принимая во внимание формулы (11.3), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом .

Следовательно,

,

откуда

. (11.8)

Умножая обе части равенства (11.4) на и снова интегрируя от -p до p, найдем

,

откуда

. (11.9)

Коэффициенты, определенные по формулам (11.6)-(11.9), называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (3.1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Приведем примеры разложения функции в ряды Фурье.

Пример 1. Периодическая функция определена следующим образом:

Данная функция не четная и не нечетная, поэтому вычисляем ее коэффициенты по общим формулам, полагая и берем пределы интегрирования от 0 до 2p.

при n=0 полученное выражение для не имеет смысла.

,

.

Искомое разложение данной функции в ряд имеет вид:

Это разложение справедливо, то есть полученный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области определения . (В граничных точках и сумма ряда равна , в этих точках все члены ее ряда, кроме правого, обращаются в нуль. То же значение имеет сумма ряда в указанных точках и по теореме Дирихле).

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:

Рис.1

Функция - нечетная (рис.1), поэтому все коэффициенты ,

.

Следовательно,

Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности при всех значениях x, кроме x_k=2pk, k=0,±1,±2,…, которые являются точками разрыва функции. В точках x_k по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна нулю.

11.4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на части промежутка

Во многих задачах функция задается в интервале . Требуется представить данную функцию в виде бесконечной суммы синусов и косинусов углов, кратных числам натурального ряда, т.е. необходимо произвести разложение функции в ряд Фурье. Обычно в таких случаях поступают следующим образом.

Чтобы разложить заданную функцию по косинусам, функцию доопределяют в интервале четным образом, т.е. так, что в интервале . Тогда для «продолженной» четной функции справедливы все рассуждения предыдущего параграфа, и, следовательно, коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам

,

.

В этих формулах, как видим, фигурируют значения функции , лишь заданные в интервале . Чтобы разложить функцию , заданную в интервале , по синусам, необходимо доопределить эту функцию в интервале нечетным образом, т.е. так, что в интервале .

Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нужно вести по формулам

,

.

Теорема 1. Функцию заданную на промежутке можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд Фурье, в частности по cos или по sin.

Замечание. Функция , заданная в интервале может быть доопределена в интервале любым образом, а не только так, как было сделано выше. Но при произвольном доопределении функции разложение в ряд Фурье будет более сложным, чем то, которое получается при разложении по синусам или косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию , заданную в интервале (рис.2а).

Решение. Доопределим функцию в интервале четным образом (график симметричен относительно оси ) (рис.2б).

а б

Рис.2

,

.

Так как , то

при ,

при

и

.

Теорема: Если является непрерывной и её ряд Фурье сходится равномерно, то суммой данного ряда является функция и , , .

Доказательство: Умножая обе части равенства на и интегрируя функции в левой и правой частях от до , имеем

Здесь учтена возможность почленного интегрирования ряда, вытекающая из предположения о его равномерной сходимости, а также показанные ранее равенства. Аналогично, умножая обе части равенства на и интегрируя от до , получаем

Наконец, интегрирование обеих частей равенства от - до дает

Теорема доказана.

Коэффициенты и называются коэффициентами Фурье функции , а ряд в правой части равенства – рядом Фурье функции .

Итак, рядом Фурье функции , определенной на сегменте , называется ряд

, (15.7)

где

,

.

Если ряд (15.7) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма этого ряда:

1. во всех точках непрерывности функции , лежащих внутри сегмента ;

2. , где - точка разрыва I рода функции ;

3. на концах промежутка, т.е. при .

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную в интервале уравнением .

Решение. Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки и . Сумма ряда Фурье функции является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией на сегменте .

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

.

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом, .

Далее, находим коэффициенты . Имеем

.

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, , т.е. .

Найдем теперь коэффициенты :

.

Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,

.

Интегрируя по частям, получим , , , , т.е.

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид

Задания для самостоятельного решения

На отрезке разложить в ряд Фурье функции:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .