Обобщенная -функция Дирака

Для конструирования моделей ДС рассмотрим обобщенную -функцию Дирака и ее свойства. Определим ее так: , причем .

Возможные модели -функции:

Мы будем использовать т.н. фильтрующее свойство -функции:

Приведем доказательство этого свойства:

-функция связана с единичной функцией , которая задается так: . В частности и .

Применим теперь фильтрующее свойство -функции для входного процесса :

.

Этот результат можно интерпретировать как разложение процесса по бесконечному числу импульсов . Считая -функцию одним из возможных элементарных воздейст-вий, запишем реакцию системы с оператором , используя полученное разложение:

.

Если , то

Основной результат этого в следующем: введена функция , которая определя-ется как реакция системы на импульсное воздействие (т.н. импульсная переходная (весовая) функция). С ее помощью получе-на общая форма модели линейной непреры-вной системы, представляющая собой интеграл свертки весовой функции с вход-ным воздействием

Весовая функция показывает удельный вес возмущения, которое дейст-вовало на систему в момент времени на формирование реакции системы в момент времени t.