Использование комплексных чисел для расчета электрических цепей переменного синусоидального тока

Напряжение согласно рассматриваемому методу представляется следующим образом: ,

где – комплексное изображение синусоидального напряжения (комплекс напряжения).

Ток представляется следующим образом:

,

где – комплексное изображение синусоидального тока (комплекс тока).

Для обратного перехода от комплекса напряжения или тока необходимо:

1) умножить комплекс на ;

2) взять мнимую часть от полученного комплексного числа.

Метод расчета с помощью комплексных чисел заключается в замене реальных токов и напряжений их комплексными изображениями, расчете электрической цепи и последующем переходе от рассчитанных комплексов к мгновенным значениям токов и напряжений (к оригиналам).

Рассмотрим изображение производной в соответствии с комплексным методом:

Дифференцирование синусоидальной функции соответствует умножению изображения этой синусоидальной функции на комплексное число .

Изображение напряжения на катушке индуктивности:

где - комплексное сопротивление катушки индуктивности.

Рассмотрим изображение интеграла:

Интегрирование синусоидальной функции соответствует делению изображения на .

Найдем изображение напряжения на конденсаторе:

где - комплексное сопротивление конденсатора.

Используя комплексные изображения, получим

.

Находим комплекс тока:

,

где – реактивное сопротивление электрической цепи;

– полное комплексное сопротивление электрической цепи.

Выражение

называется законом Ома в комплексной форме.

Таким образом, используя метод комплексных чисел, можно применять закон Ома для электрических схем переменного синусоидального тока. То же касается и законов Кирхгофа. После расчетов по этим законам определяют комплексы мнимых величин. В конце расчета осуществляется переход от комплексов к мгновенным значениям (оригиналам).

Переход осуществляется по схеме:

.