Круговая система обозначений

Система вычетов

Система вычетов [a], или [a]_n, — множество целых чисел, сравнимых по модулю n. Другими словами, это набор всех целых чисел, таких, что x = a (mod n). Например, если n = 5, мы имеем множество из пяти элементов [0], [1], [2], [3] и [4], таких как это показано ниже:

[0] = {…., –15, 10, –5, 0, 5, 10, 15, …}

[1] = {…., –14, –9, –4, 1, 6 , 11, 16,…}

[2] = {…., –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17,…}

[3] = {...., –12, –7, –2, 3, 8, 13, 18,…}

[4] = {…., 11, –6, –1, 4, 9, 14, 19,…}

Целые числа в наборе [0] все дают остаток 0 при делении на 5 (сравнимы по модулю 5). Целые числа в наборе [1] все дают остаток 1 при делении на 5 (сравнимы по модулю 5), и так далее. В каждом наборе есть один элемент, называемый наименьшим (неотрицательным) вычетом. В наборе [0] это элемент 0; в наборе [1] — 1, и так далее. Набор, который показывает все наименьшие вычеты: Z₅ = {0, 1, 2, 3, 4}. Другими словами, набор Z_n — набор всех наименьших вычетов по модулю n.

Понятие "сравнение" может быть лучше раскрыто при использовании круга в качестве модели. Так же, как мы применяем линию, чтобы показать распределение целых чисел в Z, мы можем использовать круг, чтобы показать распределение целых чисел в Z_n.

Рисунок позволяет сравнить два этих подхода. Целые числа от 0 до n–1 расположены равномерно вокруг круга. Все целые числа, сравнимые по модулю n, занимают одни и те же точки в круге. Положительные и отрицательные целые числа от Z отображаются в круге одним и тем же способом, соблюдая симметрию между ними.