Модульная арифметика

Решение

Пример

Общие решения

Частное решение

Если d|c, то можно найти частное решение вышеупомянутого уравнения, используя следующие шаги.

1. Преобразуем уравнение к a₁x + b₁y = c₁, разделив обе части уравнения на d. Это возможно, потому, что d делит a, b, и c в соответствии с предположением.

2. Найти s и t в равенстве a₁s + b₁t = 1, используя расширенный алгоритм Евклида.

3. Частное решение может быть найдено:

Частное решение: X₀ = (c/d)s и y₀ = (c/d)t

После нахождения частного решения общие решения могут быть найдены:

Общие решения: x = x₀ + k(b/d) и y = y₀ – k(a/d), где k — целое число

Найти частные и общие решения уравнения 21x + 14y = 35.

Мы имеем d = НОД (21, 14) = 7. При 7|35 уравнение имеет бесконечное число решений. Мы можем разделить обе стороны уравнения на 7 и получим уравнение 3x + 2y = 5. Используя расширенный алгоритм Евклида, мы находим s и t, такие, что 3s + 2t = 1. Мы имеем S = 1 и t = –1. Решения будут следующие:

Частное решение : x₀ = 5 × 1=5 и y₀ = 5 × (–1) = -5 тогда 35/7 =5

Общие: x = 5+ k × 2 y= –5 – k × 3 где k — целое

Поэтому решения будут следующие (5, –5), (7, –8), (9, –11)...

Мы можем легко проверить, что каждое из этих решений удовлетворяет первоначальному уравнению.

Уравнение деления (), рассмотренное в предыдущей секции, имеет два входа (a и n) и два выхода (q и r). В модульной арифметике мы интересуемся только одним из выходов — остатком r. Мы не заботимся о частном q. Другими словами, когда мы делим a на n, мы интересуемся только тем, что значение остатка равно r. Это подразумевает, что мы можем представить изображение вышеупомянутого уравнения как бинарный оператор с двумя входами a и n и одним выходом r.