Признаки сравнения числовых рядов

РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Лекция 7

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Рассмотрим числовой ряд , в котором все члены ряда положительны, т.е.

(1)

Такой ряд называется рядом с положительными членами.

Основные положения предыдущей лекции:

Рассмотрим два ряда:

(2)

(3)

Теорема. (Первый признак сравнения)

Пусть члены знакоположительных рядов (2) и (3) удовлетворяют неравенству

(4)

Тогда: а) Если ряд (3) сходится, то ряд (2) – сходится;

б) Если ряд (2) расходится, то ряд (3) – расходится.

Теорема. (Второй признак сравнения)

Пусть члены знакоположительных рядов (2) и (3) таковы, что

(5)

то ряды (2) и (3) сходятся и расходятся одновременно.

В качестве вспомогательных рядов рассматриваются ряды, сходимость которых известна. Например,

− геометрическая прогрессия;

− ряды Дирихле:

Ряд Дирихле сходится при и расходится при

Недостаток признаков сравнения: необходимость подбора вспомогательного ряда, что во многих случаях затруднительно