Интерполяционные многочлены Лагранжа

Будем строить многочлен n-й степени L_n(x) в виде линейной комбинации многочленов n-й же степени l_i(x) (i = 0, 1, ..., n). Для того чтобы такой многочлен был интерполяционным для функции f(x), достаточно зафиксировать в качестве коэффициентов с_i этой линейной комбинации заданные в табл. (1) значения y_i = f(x_i), а от базисных многочленов l_i(x) потребовать выполнения условия

"j, i Î {0, 1, …, n}. (4)

В таком случае для многочлена

в каждом узле x_j (j Î {0, 1, …, n}), в силу (4), справедливо

L_n(x_j) = l₀(x_j)y₀ + … + l_j–1(x_j)y_j–1 + l_j(x_j)y_j + l_j+1(x_j)y_j+1 + … + l_n(x_j)y_n =

= 0 + … + y_j + 0 + ... + 0 = y_j,

т.е. выполняются условия интерполяции (2).

Чтобы конкретизировать базисные многочлены l_i(x), учтем, что они должны удовлетворять условиям (4). Равенство нулю i-го многочлена во всех узлах, кроме i-го, означает, что l_i(x) можно записать в виде

l_i(x) = A_i(x – x₀)...(x – x_i–1)(x – x_i+1)...(x – x_n),

а коэффициент A_i этого представления легко получается из содержащегося в (4) требования l_i(x_i) = 1. Подставляя в выражение l_i(x) значение x = x_i и приравнивая результат единице, получаем

.

Таким образом, базисные многочлены Лагранжа имеют вид

,

а искомый интерполяционный многочлен Лагранжа есть

. (5)

Заметим, что числитель, фигурирующий в записи i-го слагаемого L_n(x) дроби, представляет собой произведение разностей между переменной x и всеми узлами, кроме i-го, а знаменатель — произведение разностей между i-м узлом и всеми остальными.

Будем выяснять величину отклонения f(x) от L_n(x) в произвольной точке x Î [a; b], иначе, величину остаточного члена

R_n(x) = f(x) – L_n(x)

интерполяционной формулы Лагранжа в предположении, что , т. е. данная функция n + 1 раз непрерывно дифференцируема. Обозначим

— (6)

определенный через узлы x₁, x₂, ..., x_n многочлен (n + 1)-й степени. Через него введем в рассмотрение функцию

u(x) = f(x) – L_n(x) – cП_n+1(x), (7)

где c — некоторая постоянная (параметр).

Так как в точках x = x₀, x₁, ..., x_n многочлен П_n+1(x) обращается в нуль, согласно его конструкции, a f(x) – L_n(x) = 0 в этих точках по условиям интерполяции, то и u(x_i) = 0 при i = 0, 1, …, n, т.е. функция u(x) имеет на отрезке [а; b] по меньшей мере n + 1 корень. Подберем параметр с так, чтобы u(x) имела заведомо еще и (n + 2)-й корень в какой-то фиксированной точке (¹ x_i) промежутка [а; b]. Имеем:

,

причем такое значение c обязательно найдется, поскольку Π_n+1(x) = 0 только в узлах x_i.

Пусть для определенности . Тогда можно утверждать, что при найденном с функция u(x) равна нулю на концах n + 1 отрезков [x₀; x₁], [х₁; х₂], ..., [x_i; ], [; x_i+1], ..., [x_n-1; x_n]. Значит, к функции u(x) на каждом из этих отрезков применима теорема Ролля, т.е. внутри каждого из этих отрезков существует, по крайней мере, по одной такой точке, в которой производная функции u(x) обращается в нуль. Эти n + 1 точки образуют систему из n отрезков, на концах каждого из которых уже функция u'(x) равна нулю, т.е. теперь к производной можно применить теорему Ролля, по которой существует n нулей второй производной функции u(x). Продолжая процесс таких рассуждений далее, в конце концов, приходим к выводу о существовании такой точки ξ Î (x₀; x_n) Ì (a; b), что u⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = 0. Учитывая, что n-я производная многочлена n-й степени постоянна, а (n + 1)-я равна нулю, находим выражение (n + 1)-й производной функции u(x), заданной равенством (7):

u⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) – 0 – c(n + 1)!.

Итак, существует точка ξ Î (x₀; x_n) такая, что

f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) – 0 – c(n + 1)! = 0, т. е. .

Это значение с должно совпадать с выбранным ранее, т.е. должно выполняться равенство

,

откуда получаем

.

Так как в качестве могла быть взята любая точка x из промежутка [а; b], не совпадающая ни с какой узловой, расфиксируем (или, как еще говорят, разморозим) точку , т.е. заменим ее в последнем равенстве произвольной точкой x ¹ x_i, в результате чего приходим к выражению остаточного члена

. (8)

Знание остаточного члена в предположении (n + 1)-кратной дифференцируемости f(x) позволяет записать точное представление f(x) через ее интерполяционный многочлен L_n(x):

, (9)

где ξ — некоторая (вообще говоря, неизвестная, причем зависящая от x) точка из промежутка интерполяции (а; b), а П_n+1(x) — определенный в (6) многочлен.

Теперь можно ставить и пытаться отвечать на вопросы о погрешности приближенного вычисления значения f(x) с помощью L_n(x) в какой-либо конкретной точке промежутка [а; b], о величине максимальной погрешности, допускаемой при подмене функции f(x) многочленом L_n(x) на этом промежутке, о сходимости интерполяционного процесса, т. е. о том, имеет ли место по метрике r(·,·) того или иного определенного на [a; b] функционального пространства. Так, если известна величина

,

то оценить абсолютную погрешность интерполяционной формулы f(x) » L_n(x) в любой точке можно с помощью неравенства

. (10)

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке [а; b] оценивается величиной

(11)