Базис системы векторов. Переход от одного базиса к другому

Базисом системы векторов называется такая ее подсистема, которая:

1) является линейно-независимой;

2) любой вектор из системы векторов можно выразить как линейную комбинацию этой подсистемы векторов.

Базис в n-мерном пространстве содержит n линейно-независимых векторов. В пространстве (мы рассматриваем арифметические пространства) существует бесчисленное множество базисов. Одним из базисов пространства является система единичных векторов , у которых все компоненты, кроме i-той, равны нулю, а i-я компонента равна единице. Любой вектор пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса. Например, если кроме системы единичных векторов:

задан вектор , то данный вектор можно представить в виде:

Коэффициентами разложения данного вектора по векторам базиса являются его координаты. В каждом базисе вектору соответствует строка его координат. Это разложение вектора по данному базису является единственным. Например, если дан базис в n-мерном пространстве в виде системы векторов , отличный от базиса единичных векторов, то разложение вектора в данном базисе будет иным:

где - координаты вектора в новом базисе.

Рассмотрим задачу перехода от одного базиса к другому.

Пусть в n-мерном пространстве дан базис в виде системы единичных векторов и новый базис в виде системы векторов:

, где .

Задан также вектор в старом базисе, т.е. в базисе из единичных векторов. Требуется перейти из старого базиса к новому, т.е. найти координаты единичных векторов, а также координаты вектора в новом базисе.

Этот переход можно осуществить при помощи метода Жордана-Гаусса. Для этого надо составить матрицу, в которой записать сначала векторы старого базиса, затем нового базиса и, наконец, вектор . Координаты каждого вектора будут записаны в столбце. В результате получим матрицу:

Умножая каждую часть матрицы на обратную матрицу слева, будем иметь:

или ,

т.е. в первой части получим в каждом столбце координаты соответствующего вектора старого базиса в новом базисе, во второй - новый базис в виде единичных векторов, в третьей - координаты вектора в новом базисе.

Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы путем преобразований методом Жордана-Гаусса получить во второй части единичную матрицу. Если это нельзя сделать, то система векторов является линейно-зависимой и, следовательно, не образует базис.

Пример 4.9. Даны базисы в виде системы векторов , , и системы векторов , и . Выразить векторы , , через векторы , и . Найти во втором базисе координаты вектора , заданного в первом базисе.

Выразим векторы через :

Таблица 4.2

Базис							Примечание
							1 строка
						-5	2 строка
					-1		3 строка
	1/2			3/2	1/2		4стр.=1стр. : 2
	-2			-5		-5	5стр.=2стр.+4стр.· (-4)
					-1		6стр. = 3стр.
	-1/10	3/10			1/2	-3/2	7стр.=4стр.+8стр.·(-3/2)
	2/5	-1/5					8стр.=5стр. : (-5)
	-4/5	2/5			-1		9стр.=6стр.+8стр.· (-2)
	-1/2	1/2	1/2				10стр.=7стр.+12стр.·(-1/2)
	2/5	-1/5					11стр.=8стр.
	4/5	-2/5	-1			-3	12стр.=9стр. : (-1)

Решение. Все вычисления будем производить в таблице 4.2, в столбцах которой запишем координаты данных векторов в базисе , , .

В таблице слева оставим одну графу для записи базисных векторов. Каждым шагом метода Жордана-Гаусса заменяем один базисный вектор другим. Все произведенные действия над строками указаны в примечаниях таблицы. Отметим, что необязательно первый шаг начинать с введения в базис вектора . Удобнее ввести в базис сначала вектор , так как он имеет в первой строке «1». В последнем шаге записаны конечные результаты. Так, вектор в новом базисе имеет координаты ; т.е. .

Аналогично запишем и разложения других единичных векторов по векторам нового базиса:

, .

Вектор в новом базисе имеет координаты (0, 1, -3).

Пример 4.10. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.