Лекция 4.

Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений

Снова рассмотрим систему трёх линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными (см. (1), лекция 2).

Введём три матрицы:

	х1
X =	х2
	х3

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в матричной форме

	а11	а12	а13	х1			b1
B =	а21	а22	а23	х2		=	b2			( 2 )
	а31	а32	а33	х3			b3

или

AX = B ( 3 )

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Для его решения умножим левую и правую часть слева на матрицу А^-1:

А^-1АX = A^-1B

Так как А^-1A = E, а EX = X, то

X = A^-1B ( 4 )

или в развёрнутом виде

x1			A11	A21	A31	b1
x2	=	1/DA	A12	A22	A32 .	b2		( 5 )
x3			A13	A23	A33	b3

Произведя умножение матриц, находим

x1			b1A11 + b2A21 + b3A31
x2	=	1/DA	b1A12 + b2A22 + b3A32
x3			b1A13 + b2A23 + b3A33

Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа, получаем

Это решение можно записать в форме определителей:

= = =

Пример 1. (Маша Куприянова).

Решить систему уравнений:

Представим её в виде матричного уравнения и запишем в виде (3), где

Решение матричного уравнения имеет вид (4). Найдём А^-1.

Имеем:

= - 17 ^. (-26) + 4 ^. 29 – 11 ^. 5 = 121

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

следовательно,

	38(-9) + (-9)(-7) + (-7)12 + (-12)0		-363		-3
= 1/121	(-26)(-9) + 38(-7) + 43 . 12 + 66 . 0	=1/121		=
	(-29)(-9) + 61(-7) + 34 . 12 + 55 . 0
	5(-9) + 2(-7) + 15 . 12 + (-22)0

Приравнивая строки матриц, стоящих слева и справа, получаем:

x₁ = -3, x₂ = 4, x₃ = 2, x₄ = 1.

Для решения матричного уравнения вида

XA = B (6)

умножим его, в отличии от (3), справа на матрицу А^-1:

XAA^-1 = BA^-1

Учитывая, что АА^-1 = Е, ХЕ = Х, находим

Х = ВА^-1 (7)

Пример 2. (Полина Зубко, КШ-062).

Решить уравнение

Ход мысли Полины:

2.

	-14	-15
=1/16 .		-26	14
	-20

Понятие о ранге матрицы

Минором данной матрицы А называется определитель, составленный из оставшихся элементов матрицы после вычёркивания из неё нескольких строк и столбцов.

Рассмотрим, например, матрицу

а11	а12	а13	а14
а21	а22	а23	а24
а31	а32	а33	а34

Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычёркивания одного столбца и замены знака матрицы ( ) знаком определителя | |. Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычёркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.

Рангом матрицы А (r_A) называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Можно определение ранга сформулировать и так:

рангом матрицы А (r_A) называется наибольшее натуральное число, для которого существует не равный нулю определитель k – го порядка, порождаемый матрицей А.

Убедитесь, что, например, ранг матрицы

равен 1 (r = 1), а матрицы

равен 2 (r = 2).

Рассмотрим основные методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k – го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим те миноры (k + 1) – го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1) – го порядка и обсуждаемую процедуру придётся повторить.

Пример 3. (Маша Куприянова).

Найти ранг матрицы

Фиксируем минор второго порядка, отличный от нуля:

Минор третьего порядка

окаймляющий минор М₃, также отличен от нуля:

= -3 + 20 - 22 = -5

Однако минор 4-го порядка

равен нулю (убедимся сами, повторив ход мысли Маши):

= - (110+110-210) = 0

Следовательно, ранг А равен трём (r_A = 3).

Если r_A = r_B, то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут А~В.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1. Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

2. Перестановка строк матрицы;

3. Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4. Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5. Прибавление к элемента модной строки соответствующих элементов другой строки.

Метод элементарных преобразований основан на том факте, что они не меняют ранга матрицы. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме а₁₁, а₂₂, ... а_rr (r <= min (m, n)), равны нулю. Следовательно ранг матрицы равен r.

Пример 4. Найти ранг матрицы

A =
				-3
	-1

Слово опять ей, Лене Гладковой!

						-1
A =					~
				-3
	-1								-3

Далее проводим следующие преобразования.

1. а. Элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам второй строки;

b. Удвоенные элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам третьей и четвёртой строк:

2. а. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы второй строки;

b. Из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы второй строки, умноженные на -2:

3. Из элементо четвёртой строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:

4. Вычёркиваем четвёртую строку, так как все её элементы равны нулю:

	-1
A =

5. Из элементов первого столбца вычтем соответствующие элементы второго столбца:

6. Умножим элементы первой строки на -1 и прибавим к ней соответствующие элементы третьей строки:

7. Из элементов четвёртого столбца вычтем удвоенные элементы второго столбца:

8. К элементам второго столбца прибавим удвоенные элементы первого столбца:

A =				-5

9. К элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы четвертого столбца:

A =				-5

10. а. Вычёркиваем второй столбец, так как все его элементы равны нулю;

b. Делим элементы четвёртого столбца на -5:

11. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:

12. Переставляя строки матрицы А, получаем единичную матрицу.

Ранг этой матрицы определяется числом единиц на её главной диагонали и равен 3. Следовательно, таков же и ранг исходной матрицы: r_A = 3.

Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений.

Запишем ещё раз систему линейных уравнений, с которой я начинал изложение этой лекции.

Наряду с матрицей системы

	а11	а12	а13
A =	а21	а22	а23
	а31	а32	а33

Введём её расширенную матрицу

Вспомним, что система называется совместной, если у неё существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.

Теорема Кронекера - Капелли. Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу её расширенной матрицы: r_A = r_B. Если ранг матрицы А системы меньше ранга расширенной матрицы В, т.е. r_A < r_B, то данная система несовместна и решения не существует.

Предоставим, читатель, ещё раз слово Маше Куприяновой. Именно ей Вы обязаны знакомством с конспектом этих лекций, именно она совместно с Леной Гладковой взяла на себя нелёгкий труд, напечатав рукопись и отредактировав её. Повторите ход мыслей Маши при решении вопроса, является ли совместной система уравнений (пример 5)

Маша выбрала комплексный подход к определению рангов матрицы А и расширенной матрицы В.

~						~					rA=3
			-2						-2

Выписывая расширенную матрицу, отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы.

~					rB = 3
		-2

Так как r_A = r_B, то система совместна.

Эту лекцию, как и вторую, закончим обсуждением решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Практически удобнее подводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Метод Гаусса особенно «пришёлся по душе» Маше Ларькиной (ТШ-062). Ей слово.

Решаем систему уравнений (Пример 6).

1) Выпишем матрицу:

2) Умножим элементы первой строки на 4, 2, 3 и прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвёртой строки. Получим:

3) Вычтем вторую строку из четвёртой:

3			-1
				-1

4) Умножим элементы второй строки на 10 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки, умноженных на 14:

3
				-4
				-1

5) Умножим элементы четвёртой строки на 12 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки:

6) Используя полученную матрицу, выписываем преобразованную систему, поменяв местами третью и четвёртую строки:

Последовательно находим неизвестные: x₂=1, x₃=-2, x₁=3, x₄=-2.

Приложение

Попытаемся самостоятельно ещё раз проанализировать ход мыслей «суперзвезды» Лены Гладковой, отвечающей на вопрос, является ли система уравнений

совместной (Пример 7)

						0		-1			0		-1
							-2
A=					~					~					~
		-2					-2					-2
~					~					~					~
											-1
											-1
	-1					-1			-1				-4	-1
~	-1				~	-1				~	-1				~
		-2					-2					-2
	<