Решение
Пример
Исследовать на возрастание и убывание функцию .
Решение.
Найдем производную , при .
+ – + у¢
х
–1 0 1 у
Итак, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .
Определение. Функция во внутренней точке области определения имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в которой наибольшее (наименьшее) среди значений этой функции, т.е. для всех х из указанной окрестности.
Точка называется точкой максимума или минимума, а значение функции в этой точке максимумом или минимумом функции и обозначается:
.
Термин «локальный» (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости опускать.
Необходимые условия экстремума.
Теорема. Если функция в точке имеет локальный экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо имеет в этой точке производную, равную нулю .
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.
Точки, в которых и точки, в которых функция не дифференцируема, называются критическими.
Достаточные условия экстремума.
1-ый достаточный признак(первое правило исследования функции на экстремум)
Теорема 1. Пусть для функции точка является критической и пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет локальный экстремум. Если при этом знак меняется с «+» на « – », то в точке имеет локальный максимум; если же знак меняется с «–» на «+», то в точке имеет локальный минимум.
Первое правило исследования функции на экстремум:
1. Найти область определения функции .
2. Найти критические точки, то есть корни уравнения и точки, где функция не дифференцируема.
3. Разбить область определения функции этими точками на интервалы и определить в каждом из них знак .
4. Применить 1-ый достаточный признак (попутно определить участки возрастания и убывания функции).
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
1. .
2. .
3.
+ – + у¢
х
-1 0 1 у
4. - точка максимума, ,
- точка минимума, .