Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Рассмотрим ряды с членами, имеющими любой знак. Прежде всего остановимся на знакочередующихся рядах. В таких рядах слагаемые с положительными и отрицательными знаками чередуются между собой:

(*)

Где – положительные числа.

Теорема 4(Признак Лейбница):Если в знакочередующемся ряде (*) абсолютные величины членов ряда убывают, начиная с некоторого номера, т.е. имеем: и общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю: , то ряд (*) сходится, причём его сумма (по абсолютной величине) меньше, чем абсолютная величина его первого члена и остаток ряда меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых слагаемых, т.е. .

Доказательство:

Для определённости в качестве ряда (*) рассмотрим ряд:

Представим сумму первых «2n» слагаемых ряда и частичную сумму :

Причём, каждая разность в скобках положительна по условию (т.к. ) поэтому из первого представления чётной суммы видно, что эта величина положительная и возрастает с ростом . Из второго представления суммы следует: .

Положительные величины возрастают с ростом , оставаясь всё время меньше , а значит, по признаку Вейерштрасса эти величины стремятся к некоторому пределу: .

Для нечётных частичных сумм рассмотрим равенство: , в котором при . Откуда следует: . Это означает, что исходный ряд сходится. Докажем вторую часть утверждения теоремы, т.е. . Для этого представим ряд в виде: , где – частичная сумма ряда. Заметим, что остаток ряда представляет также знакочередующийся ряд и его первый член есть , а потому, его сумма по абсолютной величине меньше, чем его первое слагаемое: т.е. .

Замечание 1. Признак Лейбница позволяет в случаях, когда применима теорема Лейбница, не только установить сходимость знакочередующегося ряда, но и оценить ошибку, допускаемую при замене ряда конечной суммой (отбрасывание всех членов ряда, начиная с некоторого номера ).

Пример 1. По теореме Лейбница сразу видно, что знакочередующийся ряд:

сходится, т.к. выполнены требования теоремы, т.е. и . Пусть сумма этого ряда равна . Причём . С другой стороны: , причём , т.е. если вместо полного ряда будем рассматривать только его часть, то допускается ошибка, меньшая чем .

1.4. Абсолютная и условная сходимость.

Рассмотрим ряд: , (1)

членами которого являются действительные числа (как положительные так и отрицательные). Одновременно с рядом (1) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин:

(2)

Теорема 5: (Достаточный признак сходимости)

Если ряд, составленный из абсолютных величин (2) сходится, то исходный ряд (1) также сходится.

Доказательство:

Обозначим через – частичную сумму – первых членов ряда (1).

Пусть – есть сумма всех положительных членов из первых членов ряда (1),

– есть сумма всех отрицательных членов из первых членов ряда (1).

Тогда: и , где – частичная сумма ряда (2).

Так как по условию теоремы ряд (2) сходится, т.е. , а , – есть положительные и возрастающие функции, зависящие от , причём:

, т.к. – это часть и по этой же причине, тогда, по признаку Вейерштрасса они имеют пределы, не превосходящие . Вследствие этого:

также имеет конечный предел, т.е. ряд (1) – сходится.

Замечание1: Этот достаточный признак не является необходимым, т.е. ряд может сходится и тогда, когда ряд – расходится.

Пример 2. Ряд – сходится, тогда как гармонический ряд расходится.

¨ Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.

¨ Если ряд сходится, а ряд, образованный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется не абсолютно или условно сходящимся.

Замечание 2: Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством.

В ряде не абсолютно сходящемся нельзя переставлять члены местами, т.к. от этого может измениться сумма всего ряда.

Пример 3. Рассмотрим знакочередующийся ряд:

, переставим у него члены так, чтобы за всяким положительным его членом следовали два ближайших отрицательных члена:

и т.д. Легко видеть, что сумма нового ряда будет равна , а именно (складывая соседние положительные и отрицательные члены): .

Таким образом, переставив члены знакочередующегося ряда получили различные суммы.

Замечание 3: Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойством перемножения. Под произведением двух сходящихся рядов:

(3)

(4)

понимают ряд, образованный из всевозможных парных произведений членов данных рядов, расположенных в следующем порядке:

(5)

В каждой группе членов этого ряда, объединённых в скобки, сумма индексов сомножителей постоянна. На первом месте она равна 2, на втором – 3, и т.д.

Теорема 6: (без доказательства) Если ряды (3) и (4) абсолютно сходятся, то их произведение есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм сомножителей (исходных рядов): .