Коректність задач
І
При розв'язуванні задачі можуть бути використані і деякі інші варіанти.
Аналогічно можна розв'язувати і другу обернену задачу теорії похибок, коли потрібно підібрати граничні абсолютні чи відносні похибки аргументів так, щоб відносна похибка функції не перевищувала наперед заданої величини.
Вправи.
1. Визначити точність, з якою треба виконувати обчислення, щоб знай
ти результат з точністю 0,5-10 3:
*)»=.- 0.0327*+ /л л-£ [0,7; 2,3];
' у 0,4231*+ 0,9248
б)у=-іяК», КЄ[);5].
2. Корені рівняння хг— 2х-\- 1§3 = 0 треба знайти з чотирма пра
вильними значущими цифрами. З якою точністю треба взяти вільний
член рівняння?
Розглянемо тепер питання так званої коректності. Більшість задач, які доводиться розв'язувати, можна записати у вигляді у = А (х), де х — деяка відома величина, у — шукана величина, А (х) — задана функція (оператор). Зауважимо, що тут у і х можуть бути числами, масивами чисел, функціями однієї чи багатьох змінних тощо.
Задача у = А (х) називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних х.з деякого класу розв'язок у існує, єдиний і стійкий за вхідними даними.
НОЗГЛЯНЄМО ПОНЯТТЯ іЛ'їитлл». Рішили
та задача, розв'язок якої неперервно залежить від вхідних даних, тобто для таких задач | Ау | -> 0, коли | Ах | ->• 0. Якщо ця умова не виконується, то задача називається нестійкою за вхідними даними. У цьому випадку навіть незначна похибка у вхідних даних може викликати як завгодно великі похибки в розв'язку, тобто розв'язок може бути зовсім спотворений. Прикладом некоректної задачі є задача диференціювання (див. розділ VII).
| Мал. 1 |
Якщо для похибок розв'язку і вхідних даних існує співвідношення І Аг/1 ^ ^ с І Ах |, де с — досить велика константа, то задача формально стійка, але неусувна похибка в цьому випадку може бути значною. Це випадок так званої слабкої стійкості (слабкої обумовленості). Для задовільної практичної стійкості константа с, очевидно, повинна бути не досить великою.
Із слабкою стійкістю ми зустрічаємося, наприклад, при розв'язуванні систем лінійних алгебраїчних рівнянь, визначник яких близький до нуля. Для таких систем похибки в коефіцієнтах системи або похибки округлення при розрахунках можуть призвести до результату, далекого від шуканого розв'язку. У випадку системи двох рівнянь з двома невідомими слабкій стійкості можна дати просту геометричну ілюстрацію. Слабкій стійкості такої системи геометрично відповідає пара майже паралельних прямих, причому невелика зміна нахилу чи зсув однієї з прямих істотно змінює положення точки перетину (мал. 1). Зауважимо, що близькість до нуля визначника системи є лише необхідною умовою слабкої стійкості, але не достатньою.
Примітка. Слід розрізняти стійкість задачі і стійкість алгоритму розв'язування задачі. Задача може бути стійка, а алгоритм її розв'язування
нестійкий.
Якщо при виконанні алгоритму, наприклад, доводиться обчислювати різницю близьких за величиною чисел (може, й не один раз), то це може призвести до великої похибки результату.
Для ілюстрації наведемо досить простий приклад на знаходження коренів квадратного рівняння х2 + рх + ц = 0, де р = — 120, д = 1.