Похибки наближених чисел

Часто на практиці з тих чи інших причин доводиться замість точного числа а брати його наближене значення а*. При цьому виникає похибка

Δа = а* — а.

Абсолютною похибкою А наближеного числа а називають величину

Граничною абсолютною похибкою вважають усяке число Δ_а, що задовольняє умову

Це означає, що

Надалі ці нерівності скорочено записуватимемо так:

а = а* ± Δ_а.

Зауважимо, що найчастіше точне значення а буває невідомим, а тому невідома й похибка Δ наближеного числа а. Наприклад, неможливо точно визначити числа тощо, однак досить легко обчислити межі, у яких вони містяться. Можна знайти наближені значення їх та граничні абсолютні похибки. Зрозуміло, що чим менша гранична абсолютна похибка, тим точніше число а* наближає число а.

Та гранична абсолютна похибка не завжди достатньо характеризує точність обчислень (чи вимірювань). Так, при вимірюванні величини, значення якої дорівнює 5•10⁷, граничну абсолютну похибку 0,01 можна вважати досить малою, однак при вимірюванні величини, значення якої дорівнює 5•10^-5, похибка 0,01 завелика. Тому часто використовують відносну похибку наближеного числа а*, яка означується рівністю:

.

Очевидно, похибку δ, як і Δ та саме число а, не завжди можна визначити. Тому на практиці здебільшого використовують граничну відносну похибку δ _а, що визначається умовою δ < δ _а.

Отже,

.

Якщо , то вважатимемо, що для Δ_а і δ_а справджуються співвідношення

, (1.1)

Запишемо додатне число а у вигляді скінченного десяткового дробу:

або

(де всі коефіцієнти α_і > 0 і менші за число 10).

к-та цифра наближеного числа а називається правильною, якщо абсолютна похибка Δ цього числа не перевищує половини одиниці к-го розряду, тобто коли

.

У протилежному випадку цифру к-го розряду називають сумнівною.

Примітка. Інколи цифру к-го розряду називають правильною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує одиниці цього розряду. Цифру за останнім означенням називають правильною у широкому розумінні, а за першим — у вузькому. Надалі ми вживатимемо поняття правильних цифр в розумінні першого означення.

Значущими цифрами наближеного числа а називатимемо всі його правильні цифри, починаючи з першої зліва, що не дорівнює нулю, до першої сумнівної цифри включно. Усі інші цифри називатимемо незначущими. Записуючи остаточні результати наближених обчислень, незначущі цифри числа відкидатимемо. При цьому кожне число записуватимемо як добуток деякого степеня числа 10 на число, всі цифри якого значущі. Якщо з наближеними числами виконуватимуться обчислення, то в них, крім значущих, треба зберігати ще одну або дві сумнівні цифри.

Приклад 1. Визначити значущі цифри чисел, якщо всі цифри в його записі вірні:

1. x=4,570345 – всі цифри в запису цього числа значущі;

2. x=0,007614 – значущі цифри тільки 7,6,1,4;

3. x=0,03105600 – значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису числа є значущими);

4. а) x=3750000 – всі цифри значущі;

б) x=3,75·10⁶ – значущі цифри тільки 3,7,5.

Приклад 2. Нехай x^*=14,537 і відомо, що Δ(x^*)=0,04. Скільки вірних значущих цифр має число x^*?

Розв’язання. Маємо Δ(x^*)>0,5·10^–2 і Δ(x^*)<0,5·10^–1. Отже у числа x^* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 – сумнівні.

Приклад 3. Нехай x^*=8,677142 і Δ(x^*)=3·10^–4. Скільки вірних значущих цифр має число x^*?

Розв’язання. Оскільки Δ(x^*)=0,3·10^–3<0,5·10^–3, то x^* має вірні три значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри 8,6,7,7.

Приклад 4. Нехай x^*=0,046725 і Δ(x^*)=0,008. Скільки вірних значущих цифр має число x^*?

Розв’язання.Маємо Δ(x^*)=0,0·10^–2>0,5·10^–2. Отже у числа x^* всі значущі цифри сумнівні.

На практиці при виконанні обчислень часто виникає потреба округлювати числа.

Якщо округлюється наближене чи точне число а до п значущих цифр, то за правилом доповнення число а замінюють числом а₁ з п значущими цифрами так, щоб похибка округлення не перевищувала половини одиниці розряду, що зберігається, тобто щоб справджувалась умова

.

Отже, якщо при округленні числа а до п значущих цифр відкидається менше ніж , то в числі а₁ зберігаються без зміни всі перші п цифр числа а. А коли відкидається не менше як , то в числі а₁ остання цифра береться на одиницю більшою, ніж у числі а.

Примітка. Внаслідок округлення наближеного числа а до п значущих цифр похибка округлення Δ_о може досягти величини . Якщо врахувати ще й похибку Δ_а числа а, то п-а цифра округленого числа може вже бути неправильною. Та коли похибка Δ_а досить мала порівняно з максимально можливим значенням похибки округлення Δ_о (наприклад, ), то похибкою Δ_а можна знехтувати і п-у цифру числа а після округлення вважати правильною, навіть якщо похибка округлення досягає . Отже, щоб знайти результат з точністю до , треба виконувати обчислення так, щоб дістати результат з точністю принаймні до , тобто з п+ 1 правильними цифрами. Тоді після округлення мож­на буде вважати, що результат має п правильних цифр.

Легко встановити зв'язок відносної похибки наближеного числа а з кількістю правильних значущих цифр.

Якщо додатне наближене число а має п правильних значущих цифр, то його відносна похибка δ задовольняє співвідношення

,

де — перша значуща цифра наближеного числа а. Справді,

, тому

.

Таким чином, за граничну відносну похибку можна взяти .

Якщо число а має більше ніж дві правильні значущі цифри, то на практиці можна користуватись оцінкою

.

Навпаки, за відносною похибкою δ можна визначити кількість правильних цифр числа а. Для цього знаходимо граничну абсолютну похибку , після чого кількість правильних цифр числа а легко встановлюється.